第11讲 反比例函数的图像与性质（讲+练）-【A+课堂】2021-2022学年八年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第11讲 反比例函数的图像与性质 知识一、反比例函数的概念 1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，我们就说这两个变量成反比例．用数学式子表示两个变量、成反比例，就是，或表示为，其中是不等于0的常数． 2、解析式形如（是常数，）的函数叫做反比例函数，其中叫做比例系数． 3、反比例函数的定义域是不等于零的一切实数． 题型探究 题型一、反比例函数的判定 【例1-1】函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦和⑧中，是y关于x的反比例函数的有：__________（填序号）． 【答案】②③⑧ 【分析】 根据反比例函数的定义：形如的函数，由此可直接进行求解． 【详解】 解：由题意得： 函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦和⑧中，是y关于x的反比例函数的有②③⑧； 故答案为②③⑧． 【点睛】 本题主要考查反比例函数的概念，熟练掌握反比例函数的概念是解题的关键． 【例1-2】下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（ ） A．圆的周长与其半径的关系 B．平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高的关系 C．销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系 D．汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间的关系 【答案】B 【分析】 判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例． 【详解】 A. 圆的周长与其半径是正比例关系，不符合题意， B. 平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高成反比例关系，符合题意， C. 销售单价一定时，销售总价与销售数量成正比例关系，不符合题意， D. 汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间成正比例关系，不符合题意， 故选B． 【点睛】 本题主要考查成反比例函数关系的量，关键就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断． 题型二、反比例函数的定义求字母 【例2-1】已知函数是反比例函数，则_________． 【答案】-2 【分析】 让x的指数为-1，系数不为0列式求值即可． 【详解】 依题意得且， 解得． 故答案为：-2． 【例2-2】若是反比例函数，则m满足的条件是__． 【答案】 【分析】 先根据反比例函数的定义列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】 解：∵是反比例函数， ∴1﹣2m≠0， 解得m≠0.5． 故答案为：m≠0.5． 题型三、反比例函数的解析式 【例3-1】已知y是x的反比例函数，当x=3时，y=9，则函数解析式是________． 【答案】 【分析】 根据反比例函数的定义设出表达式，再利用待定系数法解出系数则可得答案． 【详解】 设， ∵x=3时，y=9， ∴9=， 解得：， ∴函数解析式是． 故答案为： 【例3-2】如果x与y成反比例,而y与成反比例,那么x与z之间的关系式为___________． 【答案】 【分析】 先根据题意得到y与x之间的关系式，z与y之间的关系式，进而得到z与x之间的关系式即可． 【详解】 解：∵x与y成反比例,而y与成反比例, ∴x= ,y= ，把y=带入x=得： 故答案为. 【例3-3】若一个水池内蓄水40m³，设放完满池水的时间为h，每小时放水量为m³，则与之间的函数关系式是______；当m³时，______. 【答案】 20h 【分析】 依据放净全池污水所需的时间为h，每小时的放水量为m³，即可得到与之间的函数关系式；将m³函数关系式中，求出T的值即可． 【详解】 解：由题可得，与之间的函数关系式为： ， 当m³时，=20h． 故答案为： ； 20h. 举一反三 1．如果一个三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x 的函数表达式为（ ） A．y= B．y= C．y= D．y= 【答案】C 【分析】 根据三角形面积公式得到x、y关系式，变形即可求解． 【详解】 解：∵底边长为x，底边上的高为y，的三角形面积为10， ∴， ∴ y=． 故选：C 【点睛】 本题考查了反比例函数的意义，根据三角形面积公式得到x、y的关系式是解题关键． 2．下列两个变量成反比例函数关系的是（ ） ①三角形底边为定值，它的面积S和这条边上的高线h； ②三角形的面积为定值，它的底边a与这条边上的高线h； ③面积为定值的矩形的长与宽； ④圆的周长与它的半径． A．①④ B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】 根据反比例函数的定义即可判断． 【详解】 ①三角形底边为定值，它的面积S和这条边上的高线h是成正比例关系，故不符合题意； ②三角形的面积为定值，它的底边a与这条边上的高线h是反比例函数关系；故符合题意； ③面积为定值的矩形的长与宽；是反比例函数关系；故符合题意； ④圆的周长与它的半径，是成正比例关系，故不符合题意．