山西省怀仁市第一中学2021-2022学年高二上学期期中数学（理）试题

怀仁一中2021～2022学年第一学期高二年级期中考试 理科数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．设是观曲线右支上任意一点，分别是双曲线的左、右焦点，则等于（ ） A． B． C．8 D．16 2．光线沿着直线射到直线上．经反射后沿着直线射出，则有（ ） A． B． C． D． 3．直线的倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．过点的直线与圆相切，则直线的方程为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．圆与圆相交于两点．则弦长等于（ ） A． B． C． D． 6．椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，若，则等于（ ） A．1 B． C． D．2 7．关于直线和圆．下列说法正确的是（ ） A．直线在轴上的截距为2 B．直线恒过定点 C．若直线与圆相切，则直线与圆的位置关系是相交 D．圆上点，圆上点，则的最大值为 8．下列命题不正确的是（ ） A．数列的一个通项公式是 B．已知数列，且，则 C．已知数列的前项和为，那么123是这个数列的第7项 D．已知，则数列是递增数列 9．已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（ ） A．双曲线的顶点坐标为 B．双曲线的离心率为 C．曲线经过双曲线的一个焦点 D．双曲线与双曲线有相同的渐近线 10．已知焦点在轴上的椭圆，且，2，成等差数列，分别是椭圆的左焦点和右顶点，是椭圆上任意一点，则的最大值为（ ） A．8 B．10 C．12 D．16 11．设抛物线的焦点为，准线为为上一点，以为两心，为半径的圆交于两点．若，且的面积为，则抛物线的方程为（ ） A． B． C． D． 12．如图，已知在长方体中，，点在棱上，且，在侧面内作边长为2的正方形是侧面内一动点，且点到平面的距离等于线段的长，则当点在侧面上运动时，的最小值是（ ） A．12 B．24 C．48 D．64 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若方程表示圆，则实数的取值范围是_________________． 14．已知等差数列的前项和为，且，则满足的正整数的最大值为__________． 15．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为____________． 16．在直三棱柱中，，二面角的大小为，点到平面的距离为，点到平面的距离为，则异面直线与所成角的余弦值为___________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分〕 17．（10分）在直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，又在轴上，直线的斜率分别为． （1）设到轴的距离分别为，证明：与的乘积为定值； （2）当变化时，若总有，求的值． 18．（12分）随着社会的进步，人民的生活水平逐步提高，金秋时节．公园鲜花盛开，为了让市民有更好地赏花体验，公园开辟出一块区域用作花卉展示，，如图所示，以为坐标原点，建立直角坐标系，弧是圆的一部分，圆上的动点满足到两定点的距离之比等于，曲边图形作为主展区（Ⅰ），梯形作为副展区（Ⅱ）． （1）求圆的轨迹方程，并计算主展区（Ⅰ）曲边图形的面积； （2）若弧上的点到线段的最短距离是1，求直线的方程． 19．（12分）已知在非零数列中，，数列的前项和． （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）若数列满足，求数列的前项和． 20．（12分）已知圆与轴相切，圆心在直线上且在第一象限内，圆在直线上截得的弦长为． （1）求圆的方程： （2）已知线段的端点的横坐标为，端点在（1）中的圆上运动，线段与轴垂直，求线段的中点的轨迹方程．并判断点的轨迹是否为圆，若是，求出圆心和半径；若不是，判断点的轨迹是哪种曲线?（无需说明理由）． 21．（12分）已知椭圆的短轴长为2．离心率为，直线被椭圆所截得的线段长为． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆相交于两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值． 22．（12分）已知在四棱锥中，底面为菱形，平面分别为的中点，点在棱上移动． （1）证明：无论在棱上如何移动都有平面平面； （2）若，在线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为．若存在，试确定的位置；若不存在，说明理由． 2021～2022学年第一学期高二年级期中考试 理科数学答案及解析 1．C [是双曲线右支上任意一点，，分别是双曲线的左、右焦点，所以，又，所以