第5.2讲 导数的运算-2021-2022学年高二数学链接教材精准变式练（人教A版2019选择性必修第二册）

第5.2讲 导数的运算 教材知识链接 1.导数公式表 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0) f′(x)＝axln a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax (a＞0，a≠1) f′(x)＝ 2.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0). 3.复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′. 考点一　导数的运算　多维探究 角度1　根据求导法则求函数的导数 【例1－1】 分别求下列函数的导数： (1)y＝exln x； (2)y＝x； (3)f(x)＝ln . 解　(1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋＝ex. (2)因为y＝x3＋1＋，所以y′＝3x2－. (3)因为y＝ln ＝ln， 所以y′＝··(1＋2x)′＝. 角度2　抽象函数的导数计算 【例1－2】已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln ，则f(1)＝(　　) A.－e B.2 C.－2 D.e 解析　由已知得f′(x)＝2f′(1)－，令x＝1得f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1，则f(1)＝2f′(1)＝2. 答案　B 规律方法　1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. 2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. 【训练1】 (1)若y＝x－cos sin ，则y′＝________. (2)已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________. 考点二　导数的几何意义　多维探究 角度1　求切线方程 【例2－1】设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为(　　) A.y＝－2x B.y＝－x C.y＝2x D.y＝x 解析　因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以a－1＝0，则a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x. 答案　D 角度2　求切点坐标 【例2－2】 (1)已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(　　) A.3 B.2 C.1 D. (2)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________. 解析　(1)设切点的横坐标为x0(x0>0)， ∵曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为， ∴y′＝－，即－＝， 解得x0＝3或x0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3. (2)∵函数y＝ex的导函数为y′＝ex， ∴曲线y＝ex在点(0，1)处的切线的斜率k1＝e0＝1. 设P(x0，y0)(x0>0)，∵函数y＝的导函数为y′＝－，∴曲线y＝(x>0)在点P处的切线的斜率k2＝－， 由题意知k1k2＝－1，即1·＝－1，解得x＝1，又x0>0，∴x0＝1. 又∵点P在曲线y＝(x>0)上，∴y0＝1，故点P的坐标为(1，1). 答案　(1)A　(2)(1，1) 角度3　求参数的值或取值范围 【例2－3】 (1)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，2] B.(－∞，2) C.(2，＋∞) D.(0，＋∞) (2)已知曲线f(x)＝x＋＋b(x≠0)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋5，则a－b＝________. 解析　(1)由题意知f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解. ∴f′(x)＝＋a＝2在(0，＋∞)上有解，则a＝2－. 因为x＞0，所以2－＜2，所以a的取值范围是(－∞，2). (2)f′(x)＝1－，∴f′(1)＝1－a， 又f(1)＝1＋a＋b，∴曲线在(1，f(1))处的切线方程为y－(1＋a＋b)＝(1－a)(x－1)，即y＝(1－a)x＋2a＋b， 根据题意有解得 ∴a－b＝－1－7＝－8. 答案　(1)B　(2)－8 规律方法