4.3幂函数（题型归纳+课后作业） -2021-2022学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第二册）

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.3 幂函数 题型归纳 题型一.幂函数的概念 1．若为幂函数，则f（3）＝（　　） A． B． C．9 D． 【解答】解：f（x）为幂函数，则log2m+1＝1，解得m＝1， ∴f（x）＝x2， ∴f（3）＝9， 故选：C． 2．已知幂函数g（x）＝（2a﹣1）xa+1的图象过函数f（x）＝mx﹣b（m＞0，且m≠1）的图象所经过的定点，则b的值等于（　　） A．± B．± C．2 D．±2 【解答】解：函数g（x）＝（2a﹣1）xa+1是幂函数， ∴2a﹣1＝1，解得a＝1， ∴g（x）＝x2； 令x﹣b＝0，解得x＝b， ∴函数f（x）＝mx﹣b的图象经过定点（b，）， ∴b2，解得b＝±． 故选：B． 题型二.幂函数的图像与性质 1．如图曲线是幂函数y＝xn在第一象限内的图象，已知n取±2，四个值，相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为（　　） A．﹣2，，2 B．2，，﹣2 C．，﹣2，2， D．2，，﹣2， 【解答】解：如图，作直线x＝2，分别交四条曲线依次为A，B，C，D，四点， 由于n取±2，±四个值，当x＝2时，对应的四个函数值为 ∵ 故四个点的纵坐标依次为 由四个点得位置关系，四个函数图象对应的n的值从下而上依次为 ﹣2，，，2 故选：A． 2．若幂函数y＝（m，n∈N*且m，n互质）的图象如图所示，则下列说法中正确的是　③　． ①m，n是奇数且1； ②m是偶数，n是奇数，且1； ③m是偶数，n是奇数，且1； ④m，n是偶数，且1． 【解答】解：由题图知，函数y＝x为偶函数，m为偶数，n为奇数，又在第一象限向上“凸”，所以1， 故选③． 3．若幂函数的图象不过原点，且关于原点对称，则m的取值是（　　） A．m＝﹣2 B．m＝﹣1 C．m＝﹣2或m＝﹣1 D．﹣3≤m≤﹣1 【解答】解：由题意，m2+3m+3＝1 ∴m2+3m+2＝0 ∴m＝﹣1或m＝﹣2 当m＝﹣1时，幂函数为y＝x﹣4，图象不过原点，且关于y轴对称，不合题意； 当m＝﹣2时，幂函数为y＝x﹣3，图象不过原点，且关于原点对称，符合题意； 故选：A． 题型三.比较幂值的大小 1．设a＝（，，，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【解答】解：∵在x＞0时是增函数 ∴a＞c 又∵在x＞0时是减函数，所以c＞b 故选：A． 2．已知a＝0.，b＝（），c＝log2.51.5，则a，b，c的大小关系（　　） A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a 【解答】解：1＞a＝0.0.51， b＝（）0＝1， c＝log2.51.5＝log2.5log2.5， ∴a，b，c的大小关系为：c＜a＜b． 故选：A． 3．已知点（m，8）在幂函数f（x）＝（m﹣1）xn的图象上，设a＝f（），b＝f（lnπ），c＝f（），则a，b，c的大小关系为（　　） A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c 【解答】解：点（m，8）在幂函数f （x）＝（m﹣1）xn的图象上， 可得m﹣1＝1，即m＝2， 2n＝8，可得n＝3，则f（x）＝x3，且f（x）在R上递增， 由a＝f（（）），b＝f （lnπ），c＝f（）， 0＜（）1，lnπ＞1，0， 可得c＜a＜b， 故选：A． 题型四.利用单调性求参 1．幂函数f（x）＝（m²﹣3m+3）在（0，+∞）上单调递增，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．1或2 【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m²﹣3m+3）x在（0，+∞）上单调递增， ∴m²﹣3m+3＝1，且m2﹣6m+6＞0，求得m＝1， 故选：A． 2．已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）＝2x﹣t，任意x1∈[1，6）时，总存在x2∈[1，6）使得f（x1）＝g（x2），则t的取值范围是（　　） A．1＜t＜28 B．1≤t≤28 C．t＞28或t＜1 D．t≥28或t≤1 【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m﹣1）2x在（0，+∞）上单调递增， ∴m﹣1＝±1，且m2﹣4m+2＞0，求得m＝0，∴f（x）＝x2． ∵函数g（x）＝2x﹣t，任意x1∈[1，6）时，总存在x2∈[1，6）使得f（x1）＝g（x2）， ∴f（x）和g（x）在区间[1，6）上有交点． ∵x∈[1，6）时，f（x）∈[1，36），g（x）∈[2﹣t，64﹣t）， 则由题意可得[1，36）⊆[2﹣t，64﹣t）， 故，解得：1≤t≤28， 故选：B． 题型五.利用单调性解不等式 1．已知f（x）是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增，则满足f（a﹣1）＞1的实数a的范围为（　　） A．（﹣∞，0） B．（