专题26.13二次函数与新定义综合问题大题专练（重难点培优）-2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【华东师大版】

2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【华师大版】 专题26.13二次函数与新定义综合问题大题专练（重难点培优） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、解答题（本大题共24小题，共100分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1．（2020秋•崇川区校级月考）把函数的图象绕点旋转，得到新函数的图象，我们称是关于点的相关函数，图象的对称轴与轴交点坐标为． （1）若，时，的相关函数为 　　； （2）的值为 　　（用含的代数式表示）； （3）若，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求的解析式． 【分析】（1）求出函数与函数的对应顶点坐标，即可求解； （2）顶点绕点旋转后，对应顶点坐标分别为、，即可求； （3）分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时，分别求出符合条件的即可求解． 【解析】（1）， 顶点坐标为， 当时，顶点坐标为， 旋转后的函数顶点坐标为， ， 故答案为； （2）函数的顶点坐标为， 顶点的图象绕点旋转后的顶点坐标为， 图象的对称轴与轴交点坐标为， ， 故答案为； （3）， ， 函数的对称轴为， ①当时，时，有最大值， 时，有最小值， ， ， 无解； ②当时，时，有最大值， 时，有最小值， ，不符合题意； ③当时，时，有最大值， 时，有最小值， ， ， 或（舍， 的解析式． 2．（2020•潜江校级模拟）对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数，它的相关函数为． （1）已知点在二次函数的相关函数的图象上，求的值； （2）已知二次函数，当时，求的相关函数的最大值和最小值； （3）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，，，连接．直接写出线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点时的取值范围． 【分析】（1）二次函数的相关函数为，然后将点代入求解即可； （2）当时，，然后可 此时的最大值和最小值，当时，函数，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当时的最大值和最小值； （3）首先确定出二次函数的相关函数与线段恰好有1个交点、2个交点、3个交点时的值，然后结合函数图象可确定出的取值范围． 【解析】（1）二次函数的相关函数为， 将点代入得：， 解得：． （2）当时，，抛物线的对称轴为，此时随的增大而减小， 此时的最大值为． 当时，函数，抛物线的对称轴为， 当有最小值，最小值为，当时，有最大值，最大值． 综上所述，当时，函数的相关函数的最大值为，最小值为； （3）如图1所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点． 所以当时，，即，解得． 如图2所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点． 抛物线与轴交点纵坐标为1， ，解得：． 当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 如图3所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点． 抛物线经过点， ． 如图4所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 抛物线经过点，， ，解得：． 时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，的取值范围是或． 3．（2019秋•大连期中）定义：将函数的图象绕点旋转，得到新的函数的图象，我们称函数是函数关于点的相关函数． 例如：当时，函数关于点的相关函数为． （1）当时， ①一次函数关于点的相关函数为 　　； ②点在二次函数关于点的相关函数的图象上，求的值； （2）函数关于点的相关函数是，则　　； （3）当时，函数关于点的相关函数的最大值为9，求的值． 【分析】（1）①一次函数关于原点对称后值不变，值变为相反数． ②先求出二次函数关于原点对称后的解析式，然后将点坐标代入求解． （2）分别求出两函数图象的顶点坐标，两顶点中点即为点，进而求的值． （3）讨论抛物线对称轴与直线和直线的位置关系，分别得到抛物线最高点，利用其纵坐标为9列方程即可解决问题． 【解析】（1）将函数的图象绕点旋转，得到新的函数的图象，我们称函数是函数关于点的相关函数， 当时，函数与关于原点对称， ①一次函数关于原点对称后的解析式为， 故答案为：； ②二次函数关于点的相关函数为， 把点代入得， 解得； （2）函数的顶点坐标为，的顶点为， 而点与的中点坐标为， ， 故答案为：3． （3）函数关于点的相关函数为， 抛物线，顶点坐标为，， 抛物线开口向下， 当时，即时，抛物线上最高点为直线与抛物线交点， 把代入得， 当时， 解得（舍或（舍， 当时，即时，图象最高点为直线与抛物线交点