专题26.12二次函数与几何综合问题大题专练（重难点培优）-2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【华东师大版】

2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【华师大版】 专题26.12二次函数与几何综合问题大题专练（重难点培优） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、解答题（本大题共24小题，共100分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1．（2021•罗湖区校级模拟）如图，抛物线与轴相交于，两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线翻折得到△，点恰好落在抛物线的对称轴上．若点为直线下方抛物线上的一点，求当△面积最大时点的横坐标； （3）点是抛物线上位于对称轴右侧的一点，在抛物线的对称轴上存在一点使得为等边三角形，请直接写出此时直线的函数表达式． 【分析】（1）根据待定系数法，把点，的坐标代入得到方程组求解即可； （2）设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的坐标为，，由翻折得，求出的长，可得点的坐标，设点，且，设直线解析式为，对称轴与交于点，先求得解析式，再求得点的坐标，将△面积表示成关于的函数，利用二次函数的最值即可． （3）由题意可知△为等边三角形，分两种情况讨论：①当点在轴的上方时，点在轴上方，连接，．证出△，可得垂直平分，则点在直线上，可求出直线的解析式，②当点在轴的下方时，点在轴下方．同理可求出另一直线解析式． 【解析】（1）由题意得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为． （2）抛物线与轴交于，， ，抛物线的对称轴为直线， 如图，设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的坐标为，， 由翻折得， 在△中，由勾股定理，得， 点的坐标为，， 设点，且，设直线解析式为，对称轴与交于点， 则：，解得：， 直线解析式为， ， ， ， ， 当时，的值最大，此时点坐标为，； （3）存在． 取（2）中的点，，连接， ，， 为等边三角形．分类讨论如下： ①当点在轴的上方时，点在轴上方，连接，． ，为等边三角形， ，，， ， △， ． 点在抛物线的对称轴上， ， ， 又， 垂直平分， 由翻折可知垂直平分， 点在直线上， 设直线的函数表达式为， 则，解得：， 直线的函数表达式为． ②当点在轴的下方时，点在轴下方． ，为等边三角形， ，，． ， △， ， ，， ， ， 设与轴相交于点， 在中，， 点的坐标为． 设直线的函数表达式为， 则，解得：， 直线的函数表达式为． 综上所述，直线的函数表达式为或． 2．（2021•罗湖区校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，并与轴交于点，点是对称轴与轴的交点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①所示，是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，，求的面积的最大值； （3）如图②所示，在对称轴的右侧作交抛物线于点，求出点的坐标；并探究：在轴上是否存在点，使？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题意可设抛物线解析式为，将代入可得，则可求解析式； （2）连接，设，分别求出，，，所以，当时，的最大值为； （3）设点的坐标为，过作对称轴的垂线，垂足为，则，，在中，，所以，求出，，所以，，连接，在中，，，在以为圆心，为半径的圆与轴的交点为点，此时，，设，为圆的半径，，求出或，即可求． 【解析】（1）抛物线顶点坐标为， 可设抛物线解析式为， 将代入可得， ； （2）连接， 由题意，，， 设， ， ， ， ， ， 当时，的最大值为； （3）存在，设点的坐标为， 过作对称轴的垂线，垂足为， 则，， ， ， 在中， ， ， 或（舍 ，， ，， 连接，在中， ， ，， 在以为圆心，为半径的圆与轴的交点为点， 此时，， 设，为圆的半径， ， ， ， 或， 综上所述：点坐标为，或． 3．（2021•诸城市一模）如图，直线与坐标轴交于，两点，经过、两点的抛物线与直线交于，两点． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）点是抛物线上位于直线下方上的一个动点，当点运动到什么位置时的面积最大？最大值是多少？ （3）在轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法可求出抛物线解析，联立直线和抛物线解析式可得出点的坐标； （2）如图1，过点作轴的平行线交线段于点，设点坐标为，设坐标为，可求出的面积，由二次函数的性质可得出答案； （3）分三种情况：①当点为直角顶点时，②当点为直角顶点时，③当点为直角顶点时，由直角三角形的性质及相似三角形的性质可得出答案． 【解析】（1）抛物线经过、两点， ， 解得， 抛物线的解析式， 当时，，