13.4 课题学习 最短路径问题-【初中必刷题&教材划重点】2021-2022学年八年级上册数学同步名师教案（人教版）

(教参P115) 1．能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．(重点) 2．利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段 最短”问题．(难点) 前面我们学了成轴对称的两个图形和轴对称图形的性质，线段垂直平分线的性质和判定． (教学内容选自《教材划重点》) 预习反馈 阅读教材P85～87，完成下列预习内容． 如图所示，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直) 问题 1．这是一个实际问题，你打算先做什么？你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 答：画出图形；能将实际问题抽象为数学问题． 2．要研究AM＋NB的和最小，但AM和NB不衔接．将AM转化到与NB有公共点的位置，且线段长度不变，可以借助哪种几何变化？ 答：轴对称，平移． 【例】如图，A，B在直线l的同侧，在l上求一点P，使得PA＋PB最小，并说明理由． 【解】作法：如图(1)，(1)作点B关于直线l的对称点B′； (2)连接AB′，与直线l交于点C，则点C即为所求． 图(1)　　图(2) 理由如下：如图(2)，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′. 由轴对称的性质知BC＝B′C，BC′＝B′C′. ∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′. 在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′， ∴AC＋BC＜AC′＋BC′.即AC＋BC最短． 【变式练】如图，直线a∥b，N为直线b上的一个动点，MN⊥b，交直线a于点M，当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小？请说明理由． 【解】如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB.这样问题就得到了转化．连接A′B，交直线b于点N，则点N即为所求．即在点N处建桥MN，所得路径AMNB最短． 理由如下：如图，在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B.求证：AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B. 由作图可知M′N′＝MN＝AA′. 由平移的性质可知AM＝A′N，AM′＝A′N′. 根据“两点之间，线段最短”可知A′N′＋N′B＞A′B. ∴AM′＋N′B＞AM＋NB. ∴AM′＋N′B＋M′N′＞AM＋NB＋MN. 即AM＋NB＋MN最短． 1.如图，要在街道旁边修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离和最短？ 【解】作点B关于街道的对称点B′，连接AB′交街道于点P，则奶站应建在点P处． 2．如图，要在两条街道AB，CD上设立两个邮筒，M处是邮局，邮递员从邮局出发，从两个邮筒里取出信件后再回到邮局，则邮筒应设在何处，才能使邮递员所走的路程最短？ 【解】如图，N，H分别为点M关于直线AB，CD对称的点，连接NH，交AB于点E，交CD于点F，则点E，F为所求． 3.如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直) 【解】沿垂直于第一条河岸方向平移A点至A1点，沿垂直于第二条河岸方向平移B点至B1点，AA1，BB1分别与两条河宽相等．连接A1B1，分别交A，B的对岸于N，P两点，点N，P即为所求，所以建桥MN和PQ如图所示． 见《初中必刷题》P55刷基础，P56刷提升 可取之处：本节课通过让学生理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定，以及当平面内两平行线异侧有两个点时，在平行线间某处作垂线段使得顺次连接的三条线段之和最小的位置的确定，进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值．在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题． 不足之处：在解决最短路径问题时，特别是“造桥选址”类问题，由于没有学平行四边形的性质，故理解不透彻． 模型1　一线两点型 【解题技巧】已知一直线及直线的同侧有两点，在直线上找一点使其到已知两点的距离之和最短，通常作其中一点关于直线的对称点，对称点到另一点的连线与直线的交点即为所求点． 　 【母题】阅读下面一段文字：在直角坐标系中，已知两点的坐标M(x1，y1)，N(x2，y2)，M，N两点之间的距离可以用公式MN2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2计算．解答下列问题： (1)若点P(2，4)，Q(－3，－8)，求P，Q两点间的距离． (2)若点A(1，2)，B(4，－2)，点O是坐标原点，判断△AOB是什么三角形，并说明理由． (3)已知点A(5，5)，B(－4，