13.3 等腰三角形-【初中必刷题&教材划重点】2021-2022学年八年级上册数学同步名师教案（人教版）

13．3.1　等腰三角形 等腰三角形的性质 (教参P115) 1．了解等腰三角形的概念． 2．探索并证明等腰三角形的性质定理．(重点) 3．能初步应用等腰三角形的性质解决有关问题．(难点) 回忆第十一章等腰三角形的有关概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角． (教学内容选自《教材划重点》) 合作探究 阅读教材P75～77，完成下列预习内容． 活动 如图，把一张长方形纸片按图中的虚线对折，剪下阴影部分，再把它展开，得到△ABC，则AB＝AC，所以△ABC是等腰三角形． 观察 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表： 重合的线段 重合的角 AC与AB ∠CAD与∠BAD CD与BD ∠C与∠B AD与AD ∠ADC与∠ADB 猜想 等腰三角形除了两腰相等以外，你还能发现它的其他性质吗？ 等腰三角形的两个底角相等． 验证猜想 如图，在△ABC中，AB＝AC. 求证：∠B＝∠C. 【证明】作顶角的角平分线AD，则有∠1＝∠2. 在△BAD和△CAD中， ∴△BAD≌△CAD(SAS)，∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)． 思考 你还有其他的方法可以证明吗？ 如图，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C. 【证明】作AD⊥BC， 则有∠ADB＝∠ADC＝90°. 在Rt△BAD和Rt△CAD中， ∴Rt△BAD≌Rt△CAD(HL)，∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)． 思考 通过以上的证明，还可以得到什么结论呢？ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC. 求证：BD＝CD，AD⊥BC. 【证明】在△BAD和△CAD中， ∴△BAD≌△CAD(SAS)，∴BD＝CD，∠ADB＝∠ADC(全等三角形的对应角相等)． 又∵∠ADB＋∠ADC＝180°， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD⊥BC. 【例1】(教材P76例1)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD.求△ABC各角的度数． 【解】∵AB＝AC，BD＝BC＝AD， ∴∠ABC＝∠C＝∠BDC， ∠A＝∠ABD(等边对等角)． 设∠A＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x， 从而∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x. 于是在△ABC中，有∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°.解得x＝36°. ∴在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°. 【变式练1】如图，在△ABC中AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠A＝40°，求∠DBC的度数． 【解】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－∠A)＝(180°－40°)＝70°. ∵AB的垂直平分线为直线MN，D为MN上一点， ∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝40°， ∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝70°－40°＝30°. 【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高，试说明∠CBD＝∠BAC. 【证明】如图，过点A作AE平分∠BAC交BC于点E. ∵AB＝AC，AE平分∠BAC， ∴AE⊥BC. 又∵BD⊥AC， ∴∠AEC＝∠BDC＝90°， ∴∠CAE＋∠C＝∠CBD＋∠C＝90°， ∴∠CAE＝∠CBD. 又∵∠CAE＝∠BAC， ∴∠CBD＝∠BAC. 【方法总结】 “三线合一”性质的应用 1．等腰三角形“三线合一”的性质是证明角相等、线段相等和垂直关系的既重要又简便的方法． 2．“三线合一”的性质是等腰三角形所特有的性质，它实际是一组定理．在已知等腰三角形的前提下，“顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高”只要知道其中“一线”，就可以说明该线是其他“两线”． 【变式练2】如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝30°，求∠DEC的度数． 【解】∵AC＝AB，∴∠B＝∠C， ∵∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠B＋30°＝∠AED＋∠DEC， ∴∠C＝∠B＝∠AED＋∠DEC－30°， ∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE＝∠C＋∠DEC， ∴∠AED＝∠AED＋∠DEC－30°＋∠DEC， ∴2∠DEC＝30°，∴∠DEC＝15°. 1．已知，在等腰△ABC中，一个外角的度数为100°，则∠A的度数不能取的是(　C　) A．20° B．50° C．60° D．80° 2．如图，在△ABC中AB＝AC，D是BC的中点，∠B＝35°，则∠BAD＝(　C　) A．110° B．70° C．55° D．35° 3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是110°或70°. 4.如图，在△ABC中，AB的垂