11.2 与三角形有关的角-【初中必刷题&教材划重点】2021-2022学年八年级上册数学同步名师教案（人教版）

11．2.1　三角形的内角 三角形的内角和 (教参P1) 1．理解三角形内角的概念． 2．探索并证明三角形内角和定理．(重点) 3．能运用三角形的内角和定理解决简单问题．(难点) 在七年级的时候大家学过了平行线的性质以及角的相关概念． 1．两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 2．平角的度数是180°. (教学内容选自《教材划重点》) 合作探究 阅读教材第P11～12，完成下列问题． 活动 在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码． 观察 1．动手把一个三角形的两个角(∠1，∠2)剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD的度数，会得到什么结果？ ∠1＋∠2＋∠3＝180°(∠A＋∠B＋∠ACB＝180°)． 2．剪下∠A，按下图拼在一起，用量角器量一量∠BCM的度数，会得到什么结果？ ∠2＋∠BCM＝180°(∠A＋∠B＋∠ACB＝180°)． 3．把∠B和∠C剪下按下图拼在一起，用量角器量一量∠MAN的度数，会得到什么结果？ ∠MAN＝180°，∠1＋∠2＋∠3＝180°(∠BAC＋∠B＋∠C＝180°)． 猜想 任意三角形三个内角的和等于180°. 验证猜想 由刚才拼合而成的图形，尝试用所发现的方法谈谈是如何证明三角形的内角和等于180°的． 已知：如图△ABC，MN是过点A的直线，且MN∥BC.求证：∠BAC＋∠B＋∠C＝180°. 【证明】∵MN∥BC(已知)， ∴∠B＝∠MAB(两直线平行，内错角相等)， 同理∠C＝∠NAC. 又∵∠1，∠MAB，∠NAC组成平角， ∴∠1＋∠2＋∠3＝180°(等量代换)． 思考 1．由图11.2－1(2)，你能想出这个定理的其他证法吗？(教材P12) (教参P16)教科书图11.2－1(2)的拼合方法，是将三角形的两个内角移到第三个内角的同一侧，三个角合成一个平角，说明∠B的一条边是BC 的延长线，还出现了一条过点C的直线l，移动后的∠B和∠A各有一条边在l上，让学生思考l与△ABC的边AB有什么关系，进而想出证明三角形内角和是180°的另一种方法：延长BC，过点C作直线l，使l∥AB. ∵l∥AB，∴∠1＝∠4，∠2＝∠5. ∵∠3，∠4，∠5组成平角，∴∠3＋∠4＋∠5＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°. 任意三角形三个内角的和等于180°. 【强调】(1)三角形内角和定理适用于任意三角形；(2)任何一个三角形中，至少有2个锐角，最多有一个钝角或直角． 【例1】(教材P12【例】1)如图， 在△ABC中，∠BAC ＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线．求∠ADB的度数． 【解】由∠BAC＝40°，AD是△ABC的角平分线，得∠BAD＝∠BAC＝ 20°.在△ABD中，∠ADB ＝ 180°－∠B－∠BAD＝180°－75°－ 20°＝ 85°. 【拓展】三角形内角和定理的“四个应用” (1)在三角形中已知两个内角的度数，求第三个内角的度数． (2)在三角形中已知一个内角的度数，求另两个内角的度数和． (3)在三角形中已知三个内角的度数关系，求这三个内角的度数． (4)根据三角形的内角和判断一个三角形至少有几个锐角． 【变式练1】写出下列图中x的值． (1) (2) x＝45;__ 　　x＝75. 【例2】(教材P12【例】2)如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？ 【解】∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°. 由AD∥BE，得∠BAD＋∠ABE＝180°. 所以∠ABE＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°， ∠ABC＝∠ABE－∠EBC＝100°－40°＝60°. 在△ABC中，∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB＝180°－60°－30°＝90°. 答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°. 【点拨】有关方位角的描述一般都是以南北向为基准，在解答过程中要注意构造三角形，利用三角形的内角和为180°进行角度的和差计算． 【变式练2】如图，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B，C处开工挖出“V”字形通道．如果∠DBA＝120°，∠ECA＝135°，那么∠A的度数是(　A　) A．75° B．80° C．85° D．90° 1．如图，已知AC∥ED，∠C＝26°，∠CBE＝37°，则∠BED的度数是(　A　) A．63° B．83° C．73° D．53° (第1题图)　　　(第2题图) 2．如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的角平分线BE，CF相交