专题10 抛物线及其方程（课时训练）-【课后辅导专用】2021年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题10 抛物线及其方程 A组 基础巩固 1．（2021·东城·北京二中高二月考）抛物线上一点到其焦点的距离为3，则抛物线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据给定条件确定p>0，写出抛物线准线方程，利用定义求出p即得. 【详解】 因抛物线上一点到其焦点的距离为3，则p>0，抛物线准线方程为， 由抛物线定义得：，解得， 所以抛物线的方程为：. 故选：B 2．（2021·全国高二单元测试）是任意实数，方程表示的曲线不可能是（ ） A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线 【答案】B 【分析】 讨论的取值，根据椭圆、圆、双曲线以及抛物线的标准方程形式即可得出选项. 【详解】 当时，方程为，此方程为圆； 当时，方程表示的曲线为椭圆； 当时，方程，即，表示为两条直线； 当时，方程表示的曲线为双曲线. 故选：B 3．（2021·全国高二课时练习）抛物线的准线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程. 【详解】 抛物线的方程可变为 故 其准线方程为 故选：C 4．（2021·全国高三模拟预测（理））已知抛物线的准线为，点是抛物线上的动点，直线的方程为，过点分别作，垂足为，，垂足为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 令抛物线焦点为F，利用抛物线定义可得，再求点F到直线的距离即可. 【详解】 令抛物线的焦点为F，则，连接PF，如图， 因是抛物线的准线，点是抛物线上的动点，且于，于是得， 点到直线：的距离， 又于，显然点P在点F与N之间，于是有，当且仅当F，P，N三点共线时取“=”， 所以的最小值为. 故选：B 5．（2022·全国高三专题练习）如图所示，过抛物线的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若，且，则拋物线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，，设，根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得，则抛物线方程可得. 【详解】 如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点， 设，则由已知得：，由定义得：，故 在直角三角形中，， ，，从而得 ，，求得 所以抛物线的方程为． 故选：B 【点睛】 关键点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，解决本题的关键在于根据抛物线定义得出，进而推断出的值，考查学生的分析审题能力，属于一般题. 6．（2021·银川三沙源上游学校高二期末（理））已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 求出抛物线的焦点坐标，即为椭圆焦点坐标，由焦点坐标求得． 【详解】 抛物线的焦点坐标为， 所以椭圆中，，． 故选：C． 7．（2021·全国高二课时练习）已知为坐标原点，抛物线上一点到焦点的距离为6，若点为抛物线的准线上的动点，则的最小值为（ ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】 求出坐标原点关于准线的对称点的坐标，由，则，根据两点间的距离公式即可求解. 【详解】 解：由题意，抛物线的准线方程为， ∵， ∴点到准线的距离为6，即点的横坐标为4，不妨设点在第一象限， 则点的坐标为， ∵坐标原点关于准线的对称点的坐标为， ∴， ∴的最小值为. 故选：C. 8．（2021·长春市基础教育研究中心（长春市基础教育质量监测中心）高三一模（文））已知是抛物线上的一动点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 过作垂直准线，为垂足，则有，则可转化 ，分析即得解 【详解】 过作垂直准线，为垂足，，所以 （当且仅当纵坐标相等时取等号） 故选：C 9．（2021·江苏）直线过抛物线的焦点F，且与C交于A，B两点，则___________. 【答案】8 【分析】 由题意，求出，然后联立直线与抛物线方程，由韦达定理及即可求解. 【详解】 解：因为抛物线的焦点坐标为， 又直线过抛物线的焦点F， 所以，抛物线的方程为， 由，得，所以， 所以. 故答案为：8. 10．（2021·江西景德镇一中（理））已知点，动点满足以为直径的圆与轴相切，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为___________. 【答案】 【分析】 由抛物线定义可知的轨迹方程，直线过定点，结合圆的性质，可知点的轨迹为圆，再结合抛物线与圆的性质即可得到最小值． 【详解】 由动点满足以为直径的圆与轴相切可知：动点到定点的距离等于动点到直线的距离，故动点的轨迹为， 由可得， 解得D，即直线过定点D， 又过作直线的垂线，垂足为， 所以点在以为直径的圆上，直径式方程为， 化为标准方程为：