专题09 双曲线及其方程（重难点突破）-【课后辅导专用】2021年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题09 双曲线及其方程 一、考情分析 二、考点梳理 考点一 双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0. (1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线； (2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线； (3)当a＞c时，点P不存在． 考点二 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝　　，e∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 考点三、常用结论 1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径． 2、与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)． 3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 4、若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. 三、题型突破 重难点题型突破1 双曲线的定义及其应用 例1、(1)、（2021·泗阳县实验高级中学高二月考）已知双曲线的离心率是，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 直接利用离心率公式计算得到答案. 【详解】 因为双曲线的离心率是， 所以，解得（舍去）. 故选：D. (2)、设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为__________． 【答案】10 【解析】由双曲线的标准方程－＝1得a＝2，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|，当直线l过点F1，且垂直于x轴时，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝＋8＝10. 【变式训练1-1】、(1)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0，6)，当△APF周长最小时，该三角形的面积为____． 【答案】12 【解析】　设左焦点为F1，PF－PF1＝2a＝2，∴PF＝2＋PF1，△APF的周长为AF＋AP＋PF＝AF＋AP＋2＋PF1，△APF周长最小即为AP＋PF1最小，当A，P，F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为＋＝1，与x2－＝1联立，解得P点坐标为(－2，2)，此时S＝S△AF1F－S△F1PF＝12. 【变式训练1-2】、（多选题）以下关于圆锥曲线的说法正确的是（ ） A．设，为两定点，，动点满足，则动点的轨迹是双曲线 B．方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 C．双曲线与椭圆有相同的焦点 D．若双曲线：的左､右焦点分别为､，为双曲线上一点，若，则或 【答案】BC 【分析】 A、D由双曲线的定义：动点到两定点的距离差的绝对值为常数k = 2a < 2c，且动点到定点的距离范围为[，即可判断正误；B令判断零点的分布，结合椭圆、双曲线离心率的性质即可判断正误；C由曲线方程直接写出焦点坐标，即可判断正误. 【详解】 A：根据双曲线定义，仅当时，动点的轨迹才是双曲线，故错误； B：令，则且对称轴为，若为的两个零点且，则，故原方程两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故正确； C：的焦点为，的焦点为，即有相同的焦点，故正确； D：由双曲线：知：、，而，，则不合要求，故，故D错误. 故选：BC 重难点题型突破2 双曲线的标准方程 例2、（2019·四川新都·成都外国语学校高新校区）（1）求焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程； （2）求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线标准方程． 【答案】椭圆的标准方程为；双曲线的标准方程为：． 【分析】 设出椭圆的标准方程，根据2a，2c所表示的几何意义求得a，c的值，再根据椭圆 ，求得b2的值，进而可得到椭圆的标准方程； 先求得双曲线的焦点，可设所求双曲线的方程为，将点代入双曲线方程，结合双曲线，解方程可得a，b，进而可得双曲线的方程． 【详解】 设椭圆标准方程为，则 焦距为4，长轴长为6， ，，，椭圆标准方程为； 双曲线双曲