专题09 双曲线及其方程（课时训练）-【课后辅导专用】2021年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题09 双曲线及其方程 A组 基础巩固 1．（2021·全国高二单元测试）若双曲线的离心率，则（ ） A．3 B．12 C．18 D．27 【答案】D 【分析】 根据双曲线的方程和离心率公式建立方程，解之可得选项. 【详解】 解： 由已知双曲线得，所以，解得， 故选：D． 2．（2021·全国高二单元测试）直线l过双曲线的右焦点，斜率为2，若l与双曲线的两个交点分别在双曲线的左､右两支上，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由双曲线的渐近线的斜率和2比较大小，再转化为关于的不等式求解. 【详解】 双曲线中一条渐近线的斜率为， 若过焦点且斜率为2的直线，与双曲线的左右两支有交点，则， 即，即. 故选：D 3．（2021·全国高二课时练习）已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ） A．9 B．5 C．8 D．4 【答案】A 【分析】 根据双曲线的定义转化为可求解. 【详解】 设右焦点为，则，依题意，有， ，（当在线段上时，取等号）． 故的最小值为9. 故选：A. 4．（2021·全国高二课时练习）中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先求出焦点坐标，再根据等轴双曲线求出实半轴长，从而可求题设中的方程. 【详解】 设双曲线方程为：，半焦距为. 在直线中，令，得， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为，∴，∴， 故选：A． 5．（2021·全国高二单元测试）已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由已知需，又由，，建立不等式得，即，解之可得选项． 【详解】 解： 若是锐角三角形，则只需． 在中，，，则，又， ∴，∴，∴．又，∴． 故选：B． 6．（2021·全国高二课时练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且.若的面积为，则（ ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】 根据双曲线的定义，余弦定理以及三角形的面积公式列出方程组，即可解出． 【详解】 设，.由，的面积为， 可得，∴① 由离心率为，可得，代入①式，可得. 故选：D. 7．（2021·全国高二课时练习）如图，设，是双曲线的左、右焦点，过点作渐近线的平行线交另外一条渐近线于点，若的面积为，离心率满足，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据几何关系列出关于渐近线倾斜角与面积的等量关系式，求出渐近线的倾斜角，从而根据渐近线方程计算的值，确定双曲线的方程 【详解】 设双曲线的渐近线的倾斜角为，则，在等腰三角形中，根据正弦定理可得：，得，所以，解得或，又，，所以，从而，所以双曲的方程为， 故选：B． 【点睛】 本题目比较巧妙的地方在于借助渐近线的倾斜角，得到倾斜角与的关系，结合解三角形的方法来表示三角形的面积，求出的值；题目也可以用渐近线方程直接求解 8．（2021·江苏省阜宁中学高二月考）（多选）已知双曲线，则（ ） A．双曲线的焦距为 B．双曲线的虚轴长是实轴长的倍 C．双曲线与双曲线的渐近线相同 D．双曲线的顶点坐标为 【答案】BC 【分析】 由题知，，再依次讨论各选项即可得答案. 【详解】 因为，， 所以，，焦距为，所以A错误； 因为，所以B正确； 双曲线与双曲线的渐近线方程均为，所以C正确； 令，得，所以双曲线的顶点坐标为，所以D错误． 故选:BC． 9．（2021·河北张家口·高二期末）（多选题）已知双曲线C：，下列对双曲线C判断正确的是（　　） A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为4 C．离心率为 D．渐近线方程为 【答案】BD 【分析】 根据双曲线的标准方程求出a、b、c，可以求出实轴长、虚轴长、焦距、离心率、渐近线方程，对四个选项一一验证即可. 【详解】 ∵双曲线C：∴..∴∴.∴双曲线的实轴长是，虚轴长是，A错误；焦距为.B正确；离心率为，C错误：渐近线方程为，D正确. 故选：BD 10．（2022·全国高三专题练习）（多选题）已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（ ） A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线为 C． D．点P到抛物线的焦点的距离为4 【答案】ACD 【分析】 由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A、B、C的正误，根据所得抛物线方程求，即知D的正误. 【详解】 双曲线的离心率为，故A正确； 双曲线的渐近线为，故B错误； 由有相同焦点，即，即，故C正确； 抛物线焦点为，点在上，则，故或，所以P到的焦点