专训1.4 解（非）直角三角形-2021-2022学年九年级数学下册课后培优练（北师大版）

专训1.4 解（非）直角三角形 一、单选题 1．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 取格点E，连接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可证得△ABE是直角三角形，利用三角形外角的性质可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，从而结论可得． 【详解】 解：取格点E，连接AE、BE，如图： 设网格中的小正方形的边长为1， 则BE＝， AE＝， AB=． ∵BE2+AE2＝2+8＝10， AB2＝10， ∴BE2+AE2＝AB2． ∴∠AEB＝90°． 由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°． ∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD， ∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD， ∴∠APD＝∠ABE． 在Rt△ABE中，cos∠ABE＝． ∴cos∠APD＝． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形是解题的关键． 2．在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（ ） A． B．＋1 C． D．＋1 【答案】C 【分析】 过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中和Rt△ACD中，分别用AD表示出BD、CD，根据BC的长先求出AD，再求三角形的面积． 【详解】 如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D． 在Rt△ABD中，∠B＝45°， ∴BD＝AD． 在Rt△ACD中，∠C＝30°， ∴CD＝AD． ∵BD＋CD＝BC， ∴AD＋AD＝1＋． 即AD＝1． ∴S△ABC＝×BC×AD ＝（1＋）． 故选：C． 【点睛】 本题考查了一般三角形面积计算问题，关键是通过作辅助线转化为直角三角形来解决. 3．如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF<AB（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（　） A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】B 【分析】 设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c，分别求出当b=0时和当b≠0时，阴影部分的面积，由此即可判断． 【详解】 解：设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c， 过F作FM⊥BE于M，在Rt△BFM中，FM=BFsinB=asinB； 过G作GN⊥BE于N，在Rt△BGN中，GN=BGsinB=bsinB； ∴当b=0时，阴影部分的面积为三角形BEF的面积，S阴= acsinB； 当b≠0时，S阴=S△BEF-S△BDG= （a+b）（c-b）sinB-（c-a-b）sinB= acsinB， ∴运动过程中，阴影部分的面积不变， 故选：B． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 4．如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是 （ ） A．15 B．18 C．20 D．22 【答案】A 【分析】 在直角三角形ACB中，可用勾股定理求出BC边的长度，四边形ABC’A’的面积为平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’面积之和，分别求出平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’的面积，即可得出答案． 【详解】 解：在ACB中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3， 由勾股定理可得：， ∵A’C’B’是由ACB平移得来，A’C’=AC=3，B’C’=BC=4， ∴， 又∵BB’=3，A’C’= 3， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】 本题主要考察了勾股定理、平移的概念、平行四边形与直角三角形面积的计算，解题的关键在于判断出所求面积为平行四边形与直角三角形的面积之和，且掌握平行四边形的面积为底高． 5．如图，中，，BD、AC相交于点D，，，，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 过点作的垂线，交的延长线于点，可得，可得，由，可求出的长，再由，可得，由此在中可分别求出和的长，进而可求出的面积． 【详解】 解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点， 则， ，， ，， ， ， ， ， 又∵， ， ∴，， ，， ， ∴在中，， ， ， ． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查三角形的面积，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等相关知识，看到面积或特殊角作垂线是常见的解题思路，也是解题关键． 6．利用计算机可以辅助数学学习，如图是小明利用几