专题训练18：双曲线的定值问题 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

专题18：双曲线的定值问题 1．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在双曲线上.当时，. （1）求双曲线的方程. （2）设为双曲线上一点，点，在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若恰为线段的中点，试判断的面积是否为定值?若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由. 2．已知双曲线的离心率为，点在上． （1）求双曲线的方程； （2）设过点的直线l与曲线交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由． 3．已知等轴双曲线C：(a>0，b>0)经过点(，). （1）求双曲线C的标准方程； （2）已知点B(0，1). ①过原点且斜率为k的直线与双曲线C交于E，F两点，求∠EBF最小时k的值； ②点A是C上一定点，过点B的动直线与双曲线C交于P，Q两点，为定值，求点A的坐标及实数的值. 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．当时，的面积为5． （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线与轴交于点，且，，求证：为定值． 5．已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点（点P在x轴上方）． （1）若，求直线l的方程； （2）设直线的斜率分别为，证明：为定值． 6．已知双曲线，过圆上任意一点作圆的切线，若交双曲线于，两点，证明：的大小为定值. 7．已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且，圆O的方程是． （1）求双曲线C的方程； （2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求证：为定值； （3）若过圆O上点作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，求证：． 8．已知双曲线: 过点，两条渐近线的夹角为60°，直线交双曲线于、两点． （1）求双曲线的方程； （2）若过原点，为双曲线上异于、的一点，且直线、的斜率，均存在，求证：为定值； 9．已知双曲线过点，且． （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线交双曲于点，直线分别交直线于点．试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 10．已知双曲线的方程． （1）求点到双曲线上的点的距离的最小值； （2）已知直线与圆相切 ①求和的关系 ②若与双曲线交于、两点，那么是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请