专题训练9：椭圆中的定直线问题 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

专题9：椭圆中的定直线问题 1．已知椭圆过点，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过右焦点且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点，已知，过且与轴垂直的直线与直线交于点，求证：点在一定直线上，并求出此直线的方程. 2．已知点是离心率为的椭圆：（）上位于第一象限内的点，过点引轴、轴的平行线，交轴、轴于，两点，交直线于，两点，记与的面积分别为，，且． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设椭圆的上、下顶点分别为，，过点的直线与椭圆相交于，两点，证明：直线，的交点在一定直线上，并求出该直线方程． 3．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，原点到过点的直线距离是 （1）求椭圆的方程 （2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，过作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程 4．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点．如图所示，斜率为且过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，若在射线上，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：点在定直线上． 5．已知椭圆，点为椭圆外一点． （1）过原点作直线交椭圆于、两点，求直线与直线的斜率之积的范围； （2）当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点、时，线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上． 6．已知椭圆的离心率为分别是它的左、右顶点，是它的右焦点，过点作直线与交于(异于)两点，当轴时，的面积为. （1）求的标准方程; （2）设直线与直线交于点，求证:点在定直线上. 7．已知椭圆的左､右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上. 8．已知椭圆的离心率，为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，的最大值为3. （1）求椭圆的标准方程； （2），分别为椭圆的左、右顶点，过点作直线交椭圆于，两点，直线、交于点，试探究点是否在某条定直线上，若是，请求出该定直线方程，若不是，请说明理由. 9．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为. （1）求，的值； （2）当过点的动直线与椭圆交于不同的点，时，在线段上取点，使得，问点是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由. 10．如图，椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，过点A与垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且恰