专题13 抛物线（重难点突破）-【课后辅导专用】2021年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版）

专题13 抛物线 一、考情分析 二、考点梳理 考点一 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 考点二 抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线 　x＝－　 　x＝　 　y＝－　 　y＝　 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(P(x0，y0)) ＝ 　x0＋　 ＝ 　－x0＋　 ＝ 　y0＋　 ＝ 　－y0＋　 三、题型突破 重难点题型突破1 求抛物线的轨迹方程 例1．（1）、（2021·全国·高三专题练习）过点的直线与抛物线交于、两点.求线段的中点的轨迹方程. 【答案】 【分析】 设，，，代入抛物线方程中，再根据中点坐标公式可求得以线段PQ的中点B的轨迹方程. 【详解】 解：设，， 代入得， 化简得， 又， 所以线段PQ的中点B的轨迹方程为. （2）、（2021·全国·高二课时练习）已知定点F和定直线l，点F不在直线l上，动圆M过点F且与直线l相切，则动圆圆心M的轨迹是（ ） A．射线 B．直线 C．抛物线 D．椭圆 【答案】C 【分析】 由给定条件可得圆心M到定点F与到定直线l的距离相等，再结合抛物线定义即可判断作答. 【详解】 因为动圆M过定点F，则动圆M的半径为， 又动圆M与直线l相切，则圆心M到直线l的距离等于圆的半径， 因此，动点M到定点F的距离等于它到定直线l的距离，又定点F不在定直线l上，由抛物线的定义得，圆心M的轨迹是抛物线， 所以动圆圆心M的轨迹是抛物线. 故选：C （3）、（2021·全国·高二单元测试）是任意实数，方程表示的曲线不可能是（ ） A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线 【答案】B 【分析】 讨论的取值，根据椭圆、圆、双曲线以及抛物线的标准方程形式即可得出选项. 【详解】 当时，方程为，此方程为圆； 当时，方程表示的曲线为椭圆； 当时，方程，即，表示为两条直线； 当时，方程表示的曲线为双曲线. 故选：B 【变式训练1-1】、（2021·江西·南昌大学附属中学高二期中（理））如图是抛物线形拱桥，当水面在n时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由题建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，结合条件即求. 【详解】 建立如图所示的直角坐标系： 设抛物线方程为， 由题意知：在抛物线上， 即， 解得：， ， 当水位下降1米后，即将代入， 即，解得：， ∴水面宽为米. 故选：D. 【变式训练1-2】、（2021·全国·高二专题练习）已知动圆P与定圆C：（x+2）2+y2＝1相外切，又与直线x＝1相切，那么动圆圆心P的轨迹方程是__． 【答案】y2＝﹣8x 【分析】 设，由两圆位置关系、直线与圆位置关系列式化简即可得． 【详解】 设圆心P到直线x＝1的距离等于r，P（x，y ），由题意可得 PC＝1+r，即 ＝1+1﹣x，化简可得 y2＝﹣8x. 故答案为：y2＝﹣8x． 【变式训练1-3】、（2021·广东·北京师范大学广州实验学校高二期中）已知点，，动点满足. （1）求动点P的轨迹方程； （2）设（1）中所求轨迹与直线交于C，D两点，且（O为原点），求b的值. 【答案】 （1） （2） 【分析】 （1）利用向量的数量积的坐标公式，即可得出动点的轨迹的方程； （2）设、两点的坐标分别为，，联立轨迹方程与直线，利用韦达定理，结合斜率公式，得出，进而求得b的值. （1） ∵，，∴，. 则. ∴ ∴. （2） 设、两点的坐标分别为，， 联立，整理得， 其中，，由韦达定理得，. 而，，∴ ，∴ ∴，即，解得：（舍去）. 故b的值为 重难点题型突破2 抛物线的定义及应用 例2．（1）、（2021·江苏省镇江中学高二期中）抛物线的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据抛物线的简单几何性质计算可得； 【详解】 解：抛物线焦点在轴负半轴，因为，所以，所以焦点坐标为 故选：D （2）、（2021·福建省南平市高级中学高二期中）抛物线上纵坐标为1的点到焦点的距离5，则该抛物线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据抛物线定义建立关系可求出. 【详解】 抛物线上纵坐标为1