专题07 运用换元法因式分解 -2021-2022学年八年级数学之因式分解各类型问题解法攻略（人教版）

专题07 运用换元法因式分解 打牢基础 重在理解 1.换元法就是引入新的字母变量，将原式中的字母变量组成的多项式替换掉来化简式子。运用此种方法对于某些特殊的多项式因式分解可以起到简化的效果。这个方法成为换元法因式分解。 2.换元法分解因式对于处理复杂的因式分解题目有独特的功效，通过换元，我们可以达到减少多项式项数，降低多项式次数的目的。但是有些题目的使用换元法的特征并不明显 ，比如型如 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘，拼构出方便换元的形式，这体现了构造思想的应用。 典例引领 学会方法 【例题1】分解因式： 【例题2】分解因式： 强化精炼 提升本领 1.分解因式： 2.求证：多项式 的值一定是非负数 3. 若x为任意整数，求证： 的值不大于100。 4.因式分解： 5.因式分解 6.对多项式 进行因式分解时，小亮先设 ，代入原式后得： 原式 ． （1）小亮在因式分解时巧妙运用了以下哪种数学思想： ； A．整体换元思想 B．数形结合思想 C．分类讨论思想 （2）请指出上述因式分解存在的问题并直接写出正确结果； （3）请参考以上方法对多项式 进行因式分解． 7.【阅读材料】 因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2． 再将“A”还原，原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 （1）因式分解：1+5（x﹣y）+4（x﹣y）2；（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4； （3）证明：若n为正整数，则代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方． 8．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式 进行因式分解的过程. 解：设 原式 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的__________（填代号）． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为______________． （3）请你模仿以上方法对多项式 进行因式分解． 9．因式分解． （1）（a﹣b）3+（b﹣a﹣2）3+8； （2）（ay+bx）3+（ax+by）3﹣（a3+b3）（x3+y3）； （3）（x2+y2）2﹣8（x2+y2﹣2）； （4）ax3+x+a+1 （5）2（x2+6x+1）2+5（x2+1）（x2+6x+1）+2（x2+1）2； （6）（a2﹣3a+2）x2+（2a2﹣4a+1）xy+（a2﹣a）y2； （7）x3（a+1）﹣xy（x﹣y）（a﹣b）+y3（b+1） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ 专题07 运用换元法因式分解 打牢基础 重在理解 1.换元法就是引入新的字母变量，将原式中的字母变量组成的多项式替换掉来化简式子。运用此种方法对于某些特殊的多项式因式分解可以起到简化的效果。这个方法成为换元法因式分解。 2.换元法分解因式对于处理复杂的因式分解题目有独特的功效，通过换元，我们可以达到减少多项式项数，降低多项式次数的目的。但是有些题目的使用换元法的特征并不明显 ，比如型如 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘，拼构出方便换元的形式，这体现了构造思想的应用。 典例引领 学会方法 【例题1】分解因式： 【答案】见解析。 【解析】 将原式展开，是关于 的四次多项式，处理起来较为复杂．但是我们通过观察发现两个括号内的多项式只有常数项不同，因此不妨将 看作一个整体，并用字母 来替代，于是原题转化为关于 的二次三项式的因式分解问题了．   ，则 【例题2】分解因式： 【答案】见解析。 【解析】 若将此式展开，将十分繁琐，但我们注意到将相乘的几个多项式重新组合两两相乘后，有 此时可以参考例1用换元法分解此题，即 令 ，则 强化精炼 提升本领 1.分解因式： 【答案】见解析。 【解析】  设 ，则 ∴原式= = = = 2.求证：多项式 的值一定是非负数 【答案】见解析。 【解析】 现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。 证明： 设 ，则 3. 若x为任意整数，求证： 的值不大于100。 【答案】见解析。 【解析】 一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。 4