专训2.4.1 二次函数应用图形问题-2021-2022学年九年级数学下册课后培优练（北师大版）

专训2.4.1 二次函数应用图形问题 一、单选题 1．用一段长为20m的篱笆围成一个矩形菜园，设菜园的对角线长为xm，面积为ym2，则y与x的函数图象大致是（　　） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】 设矩形的长为am，宽为bm，可得a+b＝10（m），由菜园的对角线长为xm，根据勾股定理a2+b2＝x2，由三角形成立条件与两数差平方非负性可得，由公式配方可得即可． 【详解】 解：设矩形的长为am，宽为bm， 根据题意，得a+b＝20÷2＝10（m）， ∵菜园的对角线长为xm， ∴a2+b2＝x2， ∵x，， ∴x2=a2+b2≥,仅当取等号， ∴x2≥2×5×5， ∴x≥， ， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴102＝x2+2ab， ∴， ∴0≤y＜25，且x＝时，y＝25， ∴y与x函数图象是二次函数的图象，即开口方向向下的抛物线． 故选：B． 【点睛】 本题考查列二次函数解析式，自变量取值范围，完全平方公式，矩形面积，掌握列二次函数解析式，自变量取值范围，完全平方公式，矩形面积是解题关键． 2．如果一个矩形的周长与面积的差是定值，我们称这个矩形为“定差值矩形”.如图，在矩形中， ，，，那么这个“定差值矩形”的对角线 的长的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据矩形的性质，由勾股定理可得，由二次函数的性质可求解． 【详解】 解：∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，， ∴有最小值为（取正值）， 故选：C． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，二次函数的性质，掌握相关性质是本题的关键． 3．如图，四边形是边长为1的正方形，点E是射线上的动点（点E不与点A，点B重合），点F在线段的延长线上，且，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接．设，四边形的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（ ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】 分两种情况求出函数的解析式，再由函数解析式对各选项进行判断． 【详解】 解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形， ∴∠DAB=90°，AD=AB， 在△ADE和△ABF中， ∴△ADE≌△ABF（SAS）， ∴∠ADE=∠ABF，DE=BF， ∵∠DEG=90°， ∴∠ADE+∠AED=∠AED+∠BEG， ∴∠BEG=∠ADE， ∴∠BEG=∠ABF， ∴EGBF， ∵DE=BF，DE=GE， ∴EG=BF， ∴四边形BFEG是平行四边形， ∴四边形EFBG的面积=2△BEF的面积=2BE•AF， 设AE=x，四边形EFBG的面积为y， 当0≤x≤1时，y=（1-x）•x=-x2+x； 当x＞1时，y=（x-1）•x=x2-x； 综上可知，当0≤x≤1时，函数图象是开口向下的抛物线；当x＞1时，函数图象是开口向上的抛物线， 符合上述特征的只有B， 故选：B． 【点睛】 本题综合考查了正方形的性质和二次函数图象及性质，分段求出函数的解析式是解题的关键． 4．如图，正方形的边长为10，对角线，相交于点，点是上一动点，过点作的垂线，交于点，设，，那么下列图象中可能表示与的函数关系的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先证明△BEF≌△CEG，可得BF=CG，再根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EBF=∠ECG=45°，AC⊥BD，EB=EC， ∵EF⊥EG， ∴∠BEC=∠FEG=90°， ∴∠BEF=∠CEG， ∴△BEF≌△CEG（ASA）， ∴BF=CG， 在Rt△CFG中，∵FG2=CF2+CG2， 即y2=x2+(10-x)2=2(x-5)2+50， ∴可以表示y与x的函数关系的是选项B． 故选：B． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 5．如图．正方形中，，对角线，相交于点，点，分别从，两点同时出发，以的速度沿，运动，到点，时停止运动，设运动时间为，的面积为，则与的函数关系可用图象表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 因BE=CF，根据正方形的性质，可证明△BOE≌△COF，从而这两个三角形的面积相等，故四边形OECF的面积等于△BOC的面积，故有△OEF的面积=四边形OECF的面积−△ECF的面积，而△ECF的面积则可以用t的代数式表示出来，从而可得△OEF的面积关于t的函数关系式，最后可判定结果． 【详解】 由题意，得：BE=CF=tcm，则CE=BC-BE=(8-t)cm ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠OBE=∠OCF=45゜，OB=OC ∴△OBE≌△OCF ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 根据函数解析式知正确答案为：B 故选：B． 【点