重点突破训练：与解直角三角形有关的综合问题-2021-2022学年九年级数学下册课后培优练（北师大版）

重点突破训练：与解直角三角形有关的综合问题 一、单选题 1．（2021·吉林长春·九年级期中）如图，河坝横断面迎水坡的坡比为．坝高为，则的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长． 【详解】 解：在Rt△ABC中，BC=4米，tanA=1：； ∴AC=BC÷tanA=米， ∴米． 故选：B． 【点睛】 此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，根据坡比求出AC的长度是解答本题的关键． 2．（2021·吉林长春·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别是，，，，函数的图象经过点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 过点作轴于，如图，先判断为等腰直角三角形得到，，再判断为等腰直角三角形得到，则可计算出，所以，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征求出的值． 【详解】 解：过点作轴于，如图， ，的坐标分别是，． ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， 则为等腰直角三角形， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 函数的图象经过点， ． 故选：C． 【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．也考查了特殊角的三角函数问题，利用三角函数建立线段关系是解题的关键． 3．（2021·江苏滨湖·九年级期中）如图，边长为10的等边中，点D在边上，且，将含角的直角三角板（）绕直角顶点D旋转，分别交边于P、Q，连接，当时，的长为（ ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】 如图，过点作于，根据等边三角形，和含角的直角三角形，易证得 ，从而求得线段，，，，，，的长度，最后在中利用勾股定理可以求得的长度． 【详解】 如图，过点作于， 在等边中，，， 在中，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵∠A=∠B=60°， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 已知 ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 而, ∴， ∴， 在中，， ∴， 即． 故选：B． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，特殊三角函数值，一线三等角的相似模型，正确找到相似三角形是解题的关键． 4．（2021·广东·深圳实验学校九年级期中）在正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，在BC延长线上取点F使EF＝ED，过点F作FG⊥ED交ED于点M，交AB于点G，交CD于点N，以下结论中：①tan∠GFB＝；②NM＝NC；③；④S四边形GBEM＝．正确的个数是（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】 利用三角函数求得①正确；证明△DEC≌△FEM（AAS）得DM=FC，再证△DMN≌△FCN，得②正确；由三角形全等，勾股定理得③错误；BE=EC=1，CF=5-1，由三角函数，得④正确． 【详解】 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵AB＝2，点E是BC边的中点， ∴CE＝1， ∵∠DNM＝∠FNC， ∵FG⊥DE， ∴∠DMN＝90°， ∴∠DMN＝∠NCF＝90°，∠GFB＝∠EDC， ，①正确； ②∵∠DMN＝∠NCF＝90°，∠MND＝∠FNC， ∴∠MDN＝∠CFN ∵∠ECD＝∠EMF，EF＝ED，∠MDN＝∠CFN ∴△DEC≌△FEM（AAS） ∴EM＝EC， ∴DM＝FC， ∠MDN＝∠CFN，∠MND＝∠FNC，DM＝FC， ∴△DMN≌△FCN（AAS）， ∴MN＝NC，故②正确； ③∵BE＝EC，ME＝EC， ∴BE＝ME， 在Rt△GBE和Rt△GME中，BE＝ME，GE＝GE， ∴Rt△GBE≌Rt△GME（HL）， ∴∠BEG＝∠MEG， ∵ME＝EC，∠EMC＝∠ECM， ∵∠EMC+∠ECM＝∠BEG+∠MEG， ∴∠GEB＝∠MCE， ∴MC∥GE， ∴， ∵EF＝DE＝， CF＝EF﹣EC＝﹣1， ∴，故③错误； ④由上述可知：BE＝EC＝1，CF＝﹣1， ∴BF＝+1， ∵tanF＝tan∠EDC＝， ∴，故④正确， 故选：B． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、解直角三角形，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 二、填空题 5．（2021·河北正定·九年级期中）如图，在矩形中，，，点为的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，则的值为______． 【答案】 【分析】 先过B'作BC的垂线，交BC于F，交AD于G，则∠AGB'=∠B'FE=90°，设B'F=x，则B'G=4-x，根据△AGB'∽△B'FE，即可得到EF=3-x，在Rt△EFB'中，EF2+B'