第1章 章末提升 直线与方程（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（苏教版）

专题一　两条直线位置关系的判断及应用 [例1]　设直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：mx＋y＋3＝0的交点为A.P，Q分别为直线l1，l2上任意两点，点M为PQ的中点，若|AM|＝|PQ|，则m的值为(　　) A．2　　　　　　　 B．－2 C．3 D．－3 [解析]　根据题意画出图形，如图所示． 由点M为PQ的中点，|AM|＝|PQ|，易得PA⊥QA，即l1⊥l2，所以1×m＋(－2)×1＝0， 解得m＝2. [答案]　A [跟踪训练] 1．(多选)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0不可能是(　　) 解析：由题意l1：y＝－ax－b，l2：y＝－bx－a，当a，b同号时，l1与l2的斜率与截距也同号，此时选项A、C不可能正确，选项B正确；当a，b异号时，l1与l2的斜率与截距也异号，此时选项D不可能正确． 答案：ACD 专题二　直线方程的求解 [例2]　过点P(－1,0)，Q(0,2)作两条互相平行的直线，使它们在x轴上的截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程． [解析]　当两条直线的斜率都不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上的截距之差的绝对值为1，符合题意． 当两条直线的斜率都存在时，易知当两条直线的斜率都为0时，不符合题意；当斜率不为0时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y－2＝kx. 易得＝1，解得k＝1. 所以两条直线的方程分别为y＝x＋1，y＝x＋2，综上可知，所求的直线方程为x＝－1，x＝0或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0. [跟踪训练] 2．求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程． 解析：由解得 即直线l过点. ①当l与x轴垂直时，方程为x＝2， 点A(－3,1)到l的距离d＝|－3－2|＝5，满足题意． ②当l与x轴不垂直时，设斜率为k， 则l的方程为y＋＝0， ＝k(x－2)，即kx－y－2k－ 由点A到l的距离为5，得＝5， 解得k＝， 所以l的方程为＝0，即4x－3y－10＝0. －x－y－ 综上，所求直线方程为x＝2或4x－3y－10＝0. 专题三　距离公式的应用 [例3]　已知点P(a，b)在线段AB上运动，其中A(1,0)，B(0,1)．试求(a＋2)2＋(b＋2)2的取值范围． [点拨]　把(a＋2)2＋(b＋2)2看作点(a，b)到点(－2，－2)的距离的平方，并画出图形，结合图形解题． [解析]　由(a＋2)2＋(b＋2)2联想到两点间的距离公式，设Q(－2，－2)，又P(a，b)，则|PQ|＝，于是原问题转化为求|PQ|2的最大值、最小值． 如图所示，当点P与点A或点B重合时，|PQ|取得最大值，即 . ＝ 当PQ⊥AB时，|PQ|取得最小值，此时|PQ|为点Q到直线AB的距离，由A，B两点坐标可得直线AB的方程为x＋y－1＝0. 则点Q到直线AB的距离d＝， ＝＝ ∴≤(a＋2)2＋(b＋2)2≤13. 故(a＋2)2＋(b＋2)2的取值范围为. [跟踪训练] 3．求函数y＝的最小值． ＋ 解析：原式可化为y＝.考虑两点间的距离公式，如图所示，＋ 令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)， 则上述问题可转化为：在x轴上求一点P(x,0)， 使得|PA|＋|PB|最小． 作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)， 由图可直观得出 |PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|， 故|PA|＋|PB|的最小值为A′B的长度． 由两点间的距离公式可得 |A′B|＝＝5， 所以函数y＝的最小值为5. ＋ $