第2章 章末提升 圆与方程（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（苏教版）

专题一　直线及圆的方程求解 [例1]　(1)圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　　) A．x2＋y2＋10y＝0　　 B．x2＋y2－10y＝0 C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0 (2)已知圆C经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为________. [解析]　(1)设圆心为(0，b)，半径为R，则R＝|b|， 所以圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2， 因为点(3,1)在圆上，所以9＋(1－b)2＝b2， 解得b＝5. 所以圆的方程为x2＋y2－10y＝0. (2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0)， 将P，Q两点的坐标分别代入得 又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③ 设x1，x2是方程③的两根， 由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④ 联立①②④，解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0. 故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0. [答案]　(1)B　(2)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0 [跟踪训练] 1．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(　　) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 解析：法一：因为圆心在直线x＋y＝0上，所以可设圆心坐标为(a，－a)，所以，所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2. ＝，解得a＝1，所以圆心坐标为(1，－1)，所以圆的半径长R＝＝ 法二：圆心在直线x＋y＝0上，排除选项C、D，再验证选项A、B中圆心到两直线的距离是否等于半径即可． 答案：B 专题二　直线与圆、圆与圆的位置关系 [例2]　(1)圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为(　　) A．2 B．－5 C．2或－5 D．不确定 (2)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　(1)由C1(m，－2)，r1＝3；C2(－1，m)，r2＝2； 则两圆心之间的距离为|C1C2|＝＝2＋3＝5， 解得m＝2或－5. (2)因为圆心到直线的距离为＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个． [答案]　(1)C　(2)C [跟踪训练] 2．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________. 解析：因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，所以圆心(0,0)到直线的距离小于1，即<1，解得－13<c<13. 答案：(－13,13) 专题三　弦长与切线问题 [例3]　已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l过定点A(1,0)． (1)若l与圆C相切，求l的方程； (2)若l与圆C相交于P，Q两点，且|PQ|＝2，求此时直线l的方程． [解析]　(1)若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝1，符合题意． 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)， 即kx－y－k＝0. 由题意知，圆心(3,4)到直线l的距离等于2， 即，此时直线l的方程为3x－4y－3＝0. ＝2，解得k＝ 综上可得，所求直线l的方程是x＝1或3x－4y－3＝0. (2)由直线l与圆C相交可知，直线l的斜率必定存在，且不为0，设直线l的方程为k0x－y－k0＝0，圆心(3,4)到直线l的距离为d， 因为|PQ|＝2，解得k0＝1或k0＝7， ＝，即，所以d＝＝2 所以所求直线l的方程为x－y－1＝0或7x－y－7＝0. [跟踪训练] 3．已知圆x2＋y2＝8内有一点P0(－1,2)，A，B为过点P0且倾斜角为α的直线与圆的两个交点．当α＝135°时，求|AB|. 解析：法一：如图，∵α＝135°， ∴kAB＝tan 135°＝－1， ∴直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0. 又圆x2＋y2＝8的圆心为(0,0)，半径长r＝2. ＝，过点O作OC⊥AB，垂足为C，则圆心到直线AB的距离|OC|＝ 又r＝2， ∴|BC|＝， ＝ ∴|AB|＝2|BC|＝. 法二：当α＝135°时，kAB＝tan 135°＝－1， ∴直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)， 即y＝－x＋1，代入x2＋y2＝8， 得2x2－2x－7＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y