第1章 章末提升 空间向量与立体几何（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版）

　　　　　　　　　　　　　　空间向量与立体几何 授课提示：对应学生用书第25页 授课提示：对应学生用书第26页 专题一　空间向量的运算 [例1]　(1)如图所示，平行六面体A1B1C1D1－ABCD，M分AC成的比为＝________(用a、b、c表示)；＝c，则＝b，＝a，，N分A1D成的比为2，设 (2)已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝，且λ＞0，则λ的值为________． [解析]　(1)连接AN(图略)，则，由已知四边形ABCD是平行四边形， ＋＝ 故(a＋b)． ＝－＝－＝a＋b，又＋＝ 由已知，N分A1D成的比为2，故(c＋2b)． ＝－＝－＝＋＝ 于是(－a＋b＋c)． (c＋2b)＝(a＋b)＋＝－＋＝ (2)法一：由|λa＋b|＝得，λ2|a|2＋|b|2＋2λa·b＝29， 又|a|＝， ＝，|b|＝＝ a·b＝(0，－1,1)·(4,1,0)＝0×4＋(－1)×1＋1×0＝－1， 代入上式得2λ2－2λ＋17＝29， 即λ2－λ－6＝0，解得λ＝3或λ＝－2， 又λ＞0，∴λ＝3. 法二：由于a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)， 所以λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)， |λa＋b|＝，∴42＋(1－λ)2＋λ2＝29， 整理得λ2－λ－6＝0，解得λ＝3或λ＝－2， 又∵λ＞0，∴λ＝3. [答案]　(1)(－a＋b＋c)　(2)3 1.空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量． 2．空间向量的数量积的定义表达式为a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉，其他变式如夹角公式cos〈a，b〉＝，模的公式a2＝|a|2等都是解决立体几何问题的重要公式. [跟踪训练] 1．(1)设D为△ABC所在平面内一点，，则(　　)＝3 A.＋＝－ B.－＝ C.＋＝ D.－＝ (2)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)＝2a， A．|b|＝1　　　　　　 B．a⊥b C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥ 解析：(1). ＋＝－－)＝－(＋＝＋＝＋＝ (2)在△ABC中，由. ＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，所以(4a＋b)·－＝ 答案：(1)A　(2)D 专题二　空间向量解决线面位置关系 [例2]　如图所示，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点． 求证：(1)MN∥平面PAD； (2)平面PMC⊥平面PDC. [证明]　(1)如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴 建立空间直角坐标系． 设PA＝AD＝a，AB＝b， 则有P(0,0，a)，A(0,0,0)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，B(b,0,0)． ∵M，N分别为AB，PC的中点， ∴M， ，N ∴. ＝ 法一：. ＋＝＝(0，a,0)，∴＝(0,0，a)， 又∵MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD. 法二：由题意知为平面PAD的一个法向量． ∵. ⊥＝0，∴·＝(b,0,0)，∴ 又MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD. (2)由(1)知，P(0,0，a)，C(b，a,0)，M，D(0，a,0)， ∴＝(0，a，－a)． ，＝＝(b，a，－a)， 设平面PMC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则即 ∴令z1＝b，则n1＝(2a，－b，b)． 设平面PDC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则即 ∴令z2＝1，则n2＝(0,1,1)． ∵n1·n2＝0－b＋b＝0，∴n1⊥n2， ∴平面PMC⊥平面PDC. 利用空间向量证明平行、垂直关系的方法 (1)证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量即可． (2)证明线面平行的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两个不共线向量来线性表示直线的方向向量． (3)证明面面平行的方法：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题． (4)证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直． (5)证明线面垂直的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②转化为线线垂直问题． (6)证明面面垂直的方法：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂