第2章 章末提升 直线和圆的方程（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版）

　　　　　　　　　　　　　　直线和圆的方程 授课提示：对应学生用书第55页 授课提示：对应学生用书第55页 专题一　求直线的方程 [例1]　已知正方形中心为点M(－1,0)，一条边所在直线的方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程． [点拨]　已知正方形的中心坐标和一条边所在直线的方程，由正方形的性质——中心到各边的距离相等，用待定系数法列方程求解． [解析]　正方形中心到直线x＋3y－5＝0的距离d＝. ＝ 设与直线x＋3y－5＝0平行的直线方程为x＋3y＋C1＝0.由正方形的性质，得 ， ＝ 解得C1＝－5(舍去)或C1＝7. 所以与直线x＋3y－5＝0相对的边所在的直线方程为x＋3y＋7＝0. 设与直线x＋3y－5＝0垂直的边所在的直线方程为3x－y＋C2＝0.由题意，得 ， ＝ 解得C2＝9或C2＝－3. 所以另两边所在直线的方程为3x－y＋9＝0和3x－y－3＝0. 具有某种共同属性的一类直线的集合，我们称之为直线系，这一属性可通过直线系方程体现出来，它们的变化存在于参数之中，常见的直线系有： (1)过已知点P(x0，y0)的直线系y－y0＝k(x－x0)(k为参数). (2)斜率为k的平行直线系方程y＝kx＋b(b为参数). (3)与已知直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ为参数，λ≠C)． (4)与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数). (5)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：l1：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数)(但不包含直线A2x＋B2y＋C2＝0). [跟踪训练] 1．求通过两条直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且距原点为1的直线方程． 解析：法一：过两条直线交点的直线系方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0， 即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0.① ∵原点到直线的距离为1，即 ＝1，解得λ2＝9， ∴λ＝±3. 代入方程①中，得所求直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0. 法二：由方程组解得两条直线的交点为A(1,3)． 当斜率存在时，设所求直线方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0. ∵原点到直线的距离为1，即＝1， ∴|3－k|＝. ，∴k＝ ∴直线方程为y－3＝(x－1)，即4x－3y＋5＝0. 当直线斜率不存在时，直线方程为x＝1也符合题意． 故所求直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0. 专题二　直线平行与垂直的性质和判定 [例2]　已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，分别求m的值，使得： (1)l1与l2相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2. [点拨]　已知两条直线的方程中都含有参数，求不同的位置关系时参数的取值，可以利用平行(或垂直或相交)的条件列方程求解． [解析]　(1)当m＝0时，l1与l2相交． 当m≠0时，若l1与l2相交，则－， ≠－ 解得m≠－1且m≠3， 所以当l1与l2相交时，m≠－1且m≠3. (2)若l1⊥l2，则1×(m－2)＋3m＝0，解得m＝. 所以当m＝时，l1⊥l2. (3)由－(m≠0)，得m＝－1或m＝3.当m＝－1时，l1∥l2.当m＝3时，l1与l2重合．所以当m＝－1时，l1∥l2.当m＝0时，显然l1与l2不平行．＝－ 利用直线的方程判定两条直线的平行与垂直关系是这部分内容常涉及的题型．求解时，可以利用斜率之间的关系判定．若方程都是一般式，知道平行或垂直关系，求参数的值时也可以用如下方法： 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0， (1)当l1∥l2时，可令A1B2－A2B1＝0，解得参数的值后，再代入方程验证，排除重合的情况； (2)当l1⊥l2时，可利用A1A2＋B1B2＝0直接求参数的值. [跟踪训练] 2．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. (1)判断直线l1与l2是否能平行； (2)当l1⊥l2时，求a的值． 解析：(1)当a＝1时，显然两直线不平行．当a≠1时，将方程ax＋2y＋6＝0化为y＝－x－3， 将方程x＋(a－1)y＋a2－1＝0化为y＝x－a－1. 若直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则解得a＝－1. 故当a＝－1时，直线l1与l2平行． (2)当l1⊥l2时，a＋2(a－1)＝0，解得a＝. 专题三　求圆的方程 [例3]　已知△ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，求其外接圆P的方程． [点拨]　设出外接圆的一般方程，分别把A，B，C三点的坐标代入，解出D，E