1.1.1 空间向量及其线性运算（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版）

1．1　空间向量及其运算 1．1.1　 空间向量及其线性运算 学　习　目　标 知　识　导　图 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．(数学抽象) 2.经历由平面向量的线性运算推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算及其运算律．(逻辑推理、数学运算) 3.掌握空间向量共线、共面的充要条件及其应用．(数学抽象、逻辑推理) 授课提示：对应学生用书第1页 [问题导学] 1．空间向量的概念是什么？空间向量用什么表示？ 2．什么是单位向量，共线向量，相等向量？ 3．空间向量的加法，减法，数乘如何运算？ 4．空间向量的线性运算满足什么运算律？ 5．空间向量共线、共面的充要条件分别是什么？　　　 [知识梳理] 知识点一　空间向量的概念 (1)空间向量 ①定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量． ②长度或模：空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． ③表示法 (2)几类常见的空间向量 名称 定义 表示法 零向量 长度为0的向量 0 单位向量 模为1的向量 |a|＝1或||＝1 相反向量 与向量a长度相等且方向相反的向量 －a 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量 a∥b 规定：零向量与任意向量平行 0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b或＝ 微练习 1．给出下列结论： ①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝±b； ③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p； ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有. ＝ 其中正确的是________．(填序号) 解析：当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个相等向量不一定起点相同，终点也相同，故①错误； 要保证两向量相等，则需模相等且方向相同，要保证两向量是相反向量，则需模相等且方向相反，但②中仅给出向量a与b的模相等，所以这两个向量不ｰ定为相等向量或相反向量，故②错误； 命题③是相等向量的传递性，显然正确； 空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故④错误； 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量，故⑤正确．＝的方向相同，模也相等，所以与 答案：③⑤ 知识点二　空间向量的线性运算 (1)空间向量的加法、减法以及数乘运算 图1　　　　　　　 图2 由图1，知 ①a＋b＝； ＝＋ ②a－b＝；＝－ 由图2，知 ③当λ＞0时，λa＝λ； ＝ 当λ<0时，λa＝λ； ＝ 当λ＝0时，λa＝0. (2)空间向量的线性运算满足的运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μ a)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μ a, λ(a＋b)＝λa＋λb. (3)一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量． 微练习 2．化简：()＝________.－)－(－ 解析：法一(统一成加法)： 原式＝＋－－ ＝＋＋＋ ＝＋＋＋ ＝0. 法二：原式＝＋－－ ＝(＋)－－ ＝＋－ ＝＋ ＝0. 答案：0 3．已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值． (1)； ＋y＋x＝ (2). ＋＋y＝x 解析：(1)由图可知，－＝ ＝) ＋(－ ＝， －－ ∴x＝y＝－. (2)∵， ＝2＋ ∴. －＝2 ∵. －＝2，∴＝2＋ ∴) －－(2＝2 ＝2.＋－2 ∴x＝2，y＝－2. 知识点三　共线向量与共面向量 (1) 共线(平行)向量 共面向量 定义 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量 充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb (2)直线l的方向向量：已知O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，存在实数λ，使得＝λa.我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． (3)与直线、平面平行的向量：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA 与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. 微练习 4．给出下列命题： ①若空