1.1.2 空间向量的数量积运算（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版）

1．1.2　 空间向量的数量积运算 学　习　目　标 知　识　导　图 1.掌握空间向量的夹角的概念．(数学抽象) 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律．(逻辑推理、数学运算) 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．(数学抽象) 4.能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题．(直观想象、数学运算) 授课提示：对应学生用书第5页 [问题导学] 1．空间向量的夹角是如何定义的？范围是什么？ 2．两个非零向量的数量积是如何定义的？有什么运算律？ 3．向量a向向量b的投影是怎么定义的？　　　 [知识梳理] 知识点一　空间向量的夹角 　(1)空间向量的夹角的定义：如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． ＝a， (2)范围：〈a，b〉∈[0，π]．特别地，当〈a，b〉＝0时，两向量a，b同向共线；当〈a，b〉＝π时，两向量a，b反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量a，b互相垂直，记作a⊥b. 微练习 1．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量的夹角．，，，，分别与向量 解析：连接BD(图略)，在正方体ABCD－A′B′C′D′中， AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′. 所以〈〉＝45°， ，〉＝〈， 〈〉＝135°， ，〉＝180°－〈，〉＝〈， 〈〉＝∠D′AC＝60°， ， 〈〉＝180°－60°＝120°， ，〉＝180°－〈， 〈〉＝90°.，〉＝〈， 知识点二　空间向量的数量积及其性质 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0 性质 a⊥b⇔a·b＝0； a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2＝a2 运算律 (λa)·b＝λ(a·b) a·b＝b·a(交换律) a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律) 微练习 2.已知正四面体OABC的棱长为1，如图．求： (1)； · (2)()；＋)·(＋ (3)||. ＋＋ 解析：在正四面体OABC中，||＝1. |＝||＝| 〈〉＝60°.，〉＝〈，〉＝〈， (1).|·cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝||＝|· (2)() ＋)·(＋ ＝() －＋－)·(＋ ＝() －2＋)·(＋ ＝·2－2＋·－2·2＋2 ＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60° ＝1＋1－1＋1－1 ＝1. (3)||＝＋＋ ＝ .＝ 知识点三　向量的投影 (1)向量a向向量b的投影：如图①，在空间中，向量a向向量b投影，先将它们平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．如图②，也可以将向量a向直线l投影． (2)向量a向平面 β 的投影：如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，，向量 微思考 　向量b与向量的关系如何？ 提示：向量是与向量b共线的单位向量，且方向相同. 授课提示：对应学生用书第6页 题型一　空间向量的数量积的计算 [例1]　如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算： (1)； · (2)； · (3). · [解析]　(1)·＝· ＝〉 ，|cos〈||| ＝. ＝·，所以×1×1×cos 60°＝ (2)〉 ，|cos〈|||＝·＝· ＝. ＝·，所以×1×1×cos 0°＝ (3)〉 ，|cos〈|||＝·＝· ＝. ＝－·，所以×1×1×cos 120°＝－ 在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可．注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角． [跟踪训练] 1．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为(　　)· A．a2　　　　　　　　　 B.a2 C.a2a2 D. 解析：) ·＋·(＝)·＋(＝· ＝a2. ＝ 答案：C 题型二　利用数量积求向量的夹角 [例2]　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，棱AA1＝2，点N为AA1的中点． 求c