1.2 空间向量基本定理（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版）

1．2　 空间向量基本定理 学　习　目　标 知　识　导　图 1.了解空间向量基本定理及其意义．(数学抽象) 2.掌握空间向量的正交分解．(直观想象) 3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(逻辑推理，数学运算) 授课提示：对应学生用书第9页 [问题导学] 1．空间中任意的三个非零向量一定共面吗？ 2．用不共面的三个向量表示其他向量唯一吗？ 3．正方体上一个顶点出发的三条棱上的单位向量e1，e2，e3.可以作为空间的一个基底吗？　　　 [知识梳理] 知识点一　空间向量基本定理 (1)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. (2)基底：如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc, x，y，z∈R}．这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 微练习 　已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(　　) A．a　　　　　　　　　　 B．b C．a＋2b D．a＋2c 解析：能与p，q构成基底，则与p，q不共面．∵a＝，∴A、B、C都不合题意，由于{a，b，c}构成基底，∴a＋2c与p，q不共面，可构成基底．，a＋2b＝，b＝ 答案：D 知识点二　空间向量的正交分解 (1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． (2)正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 微思考 　如图，正方体的棱长为3，向量e1，e2，e3分别为棱AB，AD，AA1上的单位向量，{e1，e2，e3}能不能作为空间的一个基底？你能用向量e1、e2、e3表示向量吗？ 提示：{e1，e2，e3}能作为空间的一个基底，＝3e1＋3e2＋3e3. ＋＋＝＋＋＝ 授课提示：对应学生用书第9页 题型一　基底的判断 [例1]　已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝2e1－e2＋3e3；若不能，请说明理由．}能否作为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量，，＝e1＋e2－e3，试判断{＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋2e2－e3， [解析]　假设成立．＋y＝x共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y使，， ∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3， ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3不共面， ∴此方程组无解， 即不存在实数x，y使， ＋y＝x ∴不共面．，， 故{}能作为空间的一个基底．，， 设，则有＋z＋q＝p 2e1－e2＋3e3＝p(e1＋2e2－e3)＋q(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3) ＝(p－3q＋z)e1＋(2p＋q＋z)e2＋(－p＋2q－z)e3. ∵{e1，e2，e3}为空间的一个基底， ∴解得 ∴. －30－5＝17 1.判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助，进行判断． 2．求一向量在不同基底下的表示式，一般采用待定系数法，即设出该向量在新基底下的表示式，转化为在原基底下的表示式，对比系数. [跟踪训练] 1．若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间的一个基底． 解析：假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}是空间的一个基底，∴a，b，c不共面． ∴此方程组无解． 即不存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)， ∴a＋b，b＋c，c＋a不共面． 故{a＋b，b＋c，c＋a}能作为空间的一个基底． 题型二　用基底表示空间向量 [例2]　如图所示，在空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设. ＝c，试用向量a，b，c表示向量＝b，＝a， [解析]　， ＝，∵－＝ ∴(b＋c)， )＝＋(×＝ ) －(＋＝＋＝＋＝ ＝(b＋c)， a＋)＝＋(×＋ ∴a， (b＋c)＝－a－(b＋c)－＝ 即a. ＝－ 用基底表示向量的三个步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，