1.3 空间向量及其运算的坐标表示（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版）

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1．3.1　空间直角坐标系 1．3.2　空间向量运算的坐标表示 学　习　目　标 知　识　导　图 1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性．(数学抽象) 2.会用空间直角坐标系刻画点的位置．(直观想象、数学运算) 3.掌握空间向量的坐标表示．(数学运算) 4.掌握空间向量的线性运算和数量积的坐标表示．(数学运算) 5.借助空间向量运算的坐标表示，探索并得出空间两点间的距离公式．(数学运算、逻辑推理) 授课提示：对应学生用书第12页 [问题导学] 1．怎样建立空间直角坐标系？ 2．空间直角坐标系如何刻画点的位置？ 3．空间直角坐标系中，任意两点所在向量坐标是什么？ 4．如何表示空间向量的线性运算和数量积的坐标表示？　　　 [知识梳理] 知识点一　空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系的定义：在空间中选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}．以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)画法：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°. (3)右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． (4)空间点的坐标表示：在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使，且点A的位置由向量 (5)空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记为a＝(x，y，z)． 微练习 1．点A(－1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为(　　) A．(－1,0,1)，(－1,2,0) B．(－1,0,0)，(－1,2,0) C．(－1,0,0)，(－1,0,0) D．(－1,2,0)，(－1,2,0) 解析：点A在x轴上的投影点的横坐标不变，纵、竖坐标都为0，在xOy平面上的投影点横、纵坐标不变，竖坐标为0. 答案：B 知识点二　空间向量运算的坐标表示 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量运算 坐标表示 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) λa (λa1，λa2，λa3) a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 a∥b a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a⊥b a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 |a| cos〈a，b〉 微练习 2．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是(　　) A．a＋b＝(10，－5，－6)　 B．a－b＝(2，－1，－6) C．a·b＝10 D．|a|＝6 解析：易验证A，B，C均不正确． 由|a|＝＝6，可知D正确． 答案：D 3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝(　　) A．1　　　　B.　　　　D.　　　　C. 解析：ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，且(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝. 答案：D 知识点三　空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则 (1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． (2)|. |＝ 微练习 4．在空间直角坐标系中，已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC一定是(　　) A．等腰三角形　　　　　　 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：由已知得|. ＝|＝ |， ＝|＝ |. ＝|＝ ∴||2|2＝||2＋| ∴△ABC一定是直角三角形． 答案：C 授课提示：对应学生用书第13页 题型一　空间点、向量的坐标表示 [例1]　如