1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版）

1．4　空间向量的应用 1．4.1　　用空间向量研究直线、平面的位置关系 学　习　目　标 知　识　导　图 1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量．(数学抽象) 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行垂直关系．(数学抽象) 3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行垂直关系的判定定理．(逻辑推理) 4.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行垂直关系．(逻辑推理) 授课提示：对应学生用书第15页 [问题导学] 1．怎样用向量表示空间中的点、直线和平面？ 2．怎样求平面的法向量？ 3．怎样用直线的方向向量和平面的法向量表示直线与直线，直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系？　　　 [知识梳理] 知识点一　空间中点、直线和平面的向量表示 空间图形 向量表示 图形表示 点 在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量称为点P的位置向量来表示．我们把向量 直线 点A是直线l上的一个点，a是直线l的方向向量，在直线l上取 ，这就是空间直线的向量表示式＋t＝＋ta或＝＝a，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 平面 取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使，这个式子称为空间平面ABC的向量表示式＋y＋x＝ 平面的法向量 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0} 微练习 1．下列说法中正确的是(　　) A．直线的方向向量是唯一的 B．与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量 C．直线的方向向量有两个 D．平面的法向量是唯一的 解析：由平面法向量的定义可知，B项正确． 答案：B 2．若直线l过点A(－1,3,4)，B(1,2,1)，则直线l的一个方向向量可以是(　　) A.　　　　　　 B. C. D. 解析：. ＝(2，－1，－3)＝－3 答案：D 3．若两个向量＝(3,2,1)，则平面ABC的一个法向量为(　　)＝(1,2,3)， A．(－1,2，－1) B．(1,2,1) C．(1,2，－1) D．(－1,2,1) 解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝－1，则y＝2，z＝－1. 即平面ABC的一个法向量为n＝(－1,2，－1)． 答案：A 知识点二　空间中直线、平面的平行 位置关系 向量表示 图示 线线平行 设u1，u2分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2 线面平行 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0 面面平行 设n1，n2分别是不重合的平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 微练习 4．若两条直线的方向向量分别是a＝(2,4，－5)，b＝(－6，x，y)，且两条直线平行，则x＝________，y＝________. 解析：因为两条直线平行，所以a∥b.于是，解得x＝－12，y＝15. ＝＝ 答案：－12　15 5．若平面β外的一条直线l的方向向量是u＝(－1,2，－3)，平面β的法向量为n＝(4，－1，－2)，则l与β的位置关系是________． 解析：因为u·n＝(－1,2，－3)·(4，－1，－2)＝0，所以u⊥n.所以直线与平面平行，即l∥β. 答案：平行 知识点三　空间中直线、平面的垂直 位置关系 向量表示 图示 线线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0 线面垂直 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔ ∃λ∈R，使得u＝λn 面面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0 微辨析 　判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”． (1)若两条直线的方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．(　　) (2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.(　　) (3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．(　　) (4)若两平面α，β的法向量分别为u1＝(1,0,1)，u2＝(0,2,0)，则平面α，β互相垂直．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 授课提示：对应学生用书第17页 题型一　求平面的法向量 [例1]　如图，在直棱柱ABCD－A1B1C