1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版）

1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第一课时　用空间向量研究距离问题 学　习　目　标 知　识　导　图 能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题．(直观想象、数学运算) 授课提示：对应学生用书第19页 [问题导学] 1．向量a在向量b上的投影是什么？ 2．点到平面的距离可以看成什么？对应表达式是什么？　　　 [知识梳理] 知识点一　点到直线的距离　 点到直线的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．如图，设. ＝＝(a·u)u.点P到直线l的距离PQ＝ 在直线l上的投影向量＝a，则向量 微练习 1．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，E是CC1的中点，则E到A1B的距离为(　　) A.　　　D．3　　　C．2　　B．2 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，连接A1E，BE，作EH⊥A1B于H，则A1(4,0,4)，B(4,4,0)， E(0,4,2)， ∴＝(0,4，－4)， ＝(－4,4，－2)， ∴|， ＝3|＝，∴|＝4|＝＝6，||＝ ∴|. ＝3＝|＝ 答案：D 知识点二　点到平面的距离 点到平面的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离d＝. 微练习 2．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到α的距离为(　　) A．10 B．3 C. D. 解析：∵A(－1,3,0)，P(－2,1,4)，∴＝(－1，－2,4)． ∴·n＝10，|n|＝3， ∴点P到α的距离为. ＝ 答案：D 授课提示：对应学生用书第20页 题型一　点到直线的距离 [例1]　已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离． [解析]　 以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，所以直线A1C1的方向向量＝(0,3,1)，所以点B到直线A1C1的距离＝(－4,3,0)，又 d＝ ＝ . ＝ 向量法求点N到直线l的距离的步骤 第一步：建系，依据图形先求出直线l的单位方向向量s. 第二步：在直线l上任取一点M(注：. 可选择特殊便于计算的点)．计算点M与直线l外的点N的方向向量 第三步：易知垂线段的长度可利用直角三角形中的勾股定理计算d＝. [变式训练] 1．本例中的条件不变，若M，N分别是A1B1，AC的中点，试求点C1到直线MN的距离． 解析：如例1解中建立空间直角坐标系(图略)． 则M(2,0,1)，N，C1(0,3,1)， 所以直线MN的方向向量为， ＝ ＝(－2,3,0)， 所以点C1到MN的距离 d＝ . ＝ 2．将本例条件中直三棱柱改为所有棱长均为2的直三棱柱，求点B到A1C1的距离． 解析：以B为坐标原点，分别以BA，过B垂直于BA的直线，BB1为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0,0,0)，A1(2,0,2)，C1(1，，2)， 所以A1C1的方向向量，2)， ＝(1，，0)，＝(－1， 所以点B到直线A1C1的距离 d＝ ＝ . ＝＝ 题型二　点到平面的距离 [例2]　如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长 为2，侧棱长为4，E，F分别为AB，BC的中点，求点D1到平面B1EF的距离． [解析]　以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则E(2，4)， ，2，0)，B1(2，2，0)，F(， B(2，0)，D1(0,0,4)， ，2 所以，0,4)， ＝(，4)，＝(0， ，0). ，－2＝(－2 设n＝(x，y，z)是平面B1EF的法向量，则n⊥， ，n⊥ 所以z， 所以x＝y＝－2 所以可取n＝(2，－1)， ，2 所以点D1到平面B1EF的距离d＝ .＝＝ 求点到平面的距离的四步骤 [跟踪训练] 1.在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M，N分别为AB，SB的中点，如图所示．求点B到平面CMN的距离． 解析：取AC的中点O，连接OS，OB. ∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO. ∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC， ∴SO⊥平面ABC. 又BO⊂平面ABC，∴SO⊥BO. 如图所示，分别以OA，OB，OS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 则B(0,2)． ，，0)，N(0，)，M(1，，0)，C(－2,0,0)，S(0,0,2 ∴，0)． ＝(－1，)，＝(－1,0，，0)，＝(3， 设n＝(x，y，z