1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版）

第二课时　用空间向量研究夹角问题 学　习　目　标 知　识　导　图 1.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系，会用向量方法求两异面直线所成角．(直观想象、数学运算) 2.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求直线与平面所成角．(直观想象、数学运算) 3.理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求二面角的大小．(直观想象、数学运算) 授课提示：对应学生用书第22页 [问题导学] 1．异面直线夹角与它们方向向量的夹角之间有怎样的关系式？ 2．怎样用直线的方向向量与平面的法向量表示直线与平面的夹角？ 3．两个平面夹角与两平面的法向量之间有怎样的关系式？　　　 [知识梳理] 知识点一　异面直线所成的角 异面直线所成的角的向量表示式：若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝. 微练习 1．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于(　　) A．－　　　D.　　　C．－　　　B. 解析：因为a·b＝－4，|a|＝. ＝＝，所以cos θ＝|cos〈a，b〉|＝，|b|＝2 答案：B 知识点二　直线与平面所成的角 直线与平面所成的角的向量表示式：直线与平面相交，设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为u，平面的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝. 微练习 2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　) A．120° B．60° C．150° D．30° 解析：因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，所以它们所在直线的夹角为60°，则直线l与平面α所成的角等于90°－60°＝30°. 答案：D 知识点三　平面与平面的夹角 (1)平面与平面的夹角的定义：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)平面与平面的夹角的向量表示式：设平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝. 微练习 3．平面α的一个法向量为n1＝，那么平面α与平面β的夹角等于(　　)，平面β的一个法向量为n2＝ A．120° B．30° C．60° D．30°或150° 解析：cos〈n1，n2〉＝，设α与β的夹角为θ， ＝－ 则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝，所以θ＝30°. 答案：B 授课提示：对应学生用书第23页 题型一　求异面直线所成的角 [例1]　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，试求直线EF和BC1所成的角． [解析]　分别以直线BA，BC，BB1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(如图)． 设AB＝1，则B(0,0,0)，E，C1(0，1,1)， ，F 所以， ＝ ＝(0,1,1)． 于是cos〈， ＝＝〉＝， 所以直线EF和BC1所成角的大小为60°. 1．利用空间向量求两异面直线所成角的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系． (2)求出两条异面直线的方向向量的坐标． (3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角． (4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角． 2．求两条异面直线所成的角的两个关注点 (1)余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角． (2)范围：异面直线所成角的范围是，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值． [跟踪训练] 1.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为________． 解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，设AB＝1. 则B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0,2)，.，故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为＝－＝〉＝，＝(－1,0,2)，cos〈＝(0,1，－2)， 答案： 题型二　求直线与平面的夹角 [例2]　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点． (1)求证：PB⊥DM； (2)求BD与平面ADMN所成的角． [解析]　如图，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系， 设BC＝1，则A(0,0,0)，P(0,0,