第5章 章末提升 函数概念与性质（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册（苏教版）

专题一　求函数的解析式 [例1]　已知二次函数f(x)满足f，且f(0)＝2. ＝6x－9－f (1)求f(x)的解析式； (2)若函数g(x)＝f(x)－2tx在区间上是单调函数，求实数t的取值范围． [解析]　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f(0)＝c＝2， 所以f(x)＝ax2＋bx＋2. 由题意得， a－2＝6x－9， 2－b＋2－a2＋b 整理得6ax＋3b－3a＝6x－9， 所以解得 所以f(x)＝x2－2x＋2. (2)g(x)＝x2－x＋2，g(x)的对称轴为x＝1＋t， 若g(x)在区间上是单调递增，则1＋t≤0，解得t≤－1， 若g(x)在区间上是单调递减，则1＋t≥5，解得t≥4. 所以实数t的取值范围是(－∞，－1]∪[4，＋∞)． 求函数解析式的方法 (1)待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出f(x)，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定系数． (2)换元法：主要用于解决已知复合函数f(g(x))的表达式求f(x)的解析式的问题，令g(x)＝t，解出x，然后代入f(g(x))中即可求得f，从而求得f(x)，要注意新元的取值范围． (3)配凑法：配凑法是将f(g(x))右端的代数式配凑成关于g(x)的形式，进而求出f(x)的解析式． (4)构造方程组法(消元法)：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题．方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解． [跟踪训练] 1．已知函数y＝f(x)在R上为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x，则当x<0时，f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝－x(x＋2)　　 B．f(x)＝x(x－2) C．f(x)＝－x(x－2) D．f(x)＝x(x＋2) 解析：任取x<0，则－x>0.∵x>0时，f(x)＝x2－2x，∴f(－x)＝x2＋2x.① 又函数y＝f(x)在R上为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)．② 由①②得x<0时，f(x)＝－x(x＋2)． 答案：A 专题二　分段函数 [例2]　函数f(x)＝则f(f(2))＝(　　) A．－3 B．0 C．－1 D．2 [解析]　因为f(x)＝所以f(2)＝f(2－1)＝f(1)＝1－2＝－1， 所以f(f(2))＝f(－1)＝－1－2＝－3. [答案]　A 求分段函数的函数值的策略 (1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值． (2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点． 求解分段函数相关问题的关键是“分段归类”，即应用分类讨论思想． [跟踪训练] 2．设集合A＝∈A，则x0的取值范围是__________. 若f，函数f(x)＝，B＝ 解析：令f∈A．＝t，则f 若t∈A，则f≤t<0，不满足t∈A，舍去； ，解得－<，∴0≤t＋＝t＋ 若t∈B，则f≤1. <f<t≤1，即，解得<，∴0≤2＝2 若x0∈A，则f； ，∴x0∈<x0≤≤1，解得<x0＋，∴＝x0＋ 若x0∈B，则f. ，∴x0∈≤x0<≤1，解得<2，∴＝2 综上所述，x0的取值范围为. 答案： 专题三　函数的奇偶性 [例3]　若函数f(x)＝kx2＋x＋3是偶函数，则k等于__________. [解析]　由于函数f(x)＝kx2＋x＋3是偶函数， 所以f(x)＝fx＋3， x＋3＝kx2－，即kx2＋ 所以2x＝0恒成立，所以k＝1. [答案]　1 函数的奇偶性要抓住定义与图象的对称性解题，同时牢记奇偶性的有关结论，对于解题事半功倍． [跟踪训练] 3．已知函数f(x)＝为定义在区间[－2a,3a－1]上的奇函数，则a＋b＝__________. 解析：因为函数f(x)＝为定义在区间[－2a,3a－1]上的奇函数，所以－2a＋3a－1＝0，所以a＝1. 又f(0)＝＝0，所以b＝1.故a＋b＝2. ＝ 答案：2 专题四　求函数的单调区间 [例4]　函数f(x)＝的递减区间是__________. [解析]　当x≥0时，f(x)＝＝－x2＋1，为开口向下的抛物线，对称轴为x＝0，此时在区间(0，＋∞)上单调递减， 当x<0时，f(x)＝上单调递减， 2，为开口向上的抛物线，对称轴为x＝－1，此时在＝ 综上所述，函数f(x)＝和(0，＋∞)． 的递减区间是 [答案]　和(0，＋∞) 求解函数的单调区间一般有以下几种方法 一是图象法，主要适用于基本初等函数及其在基本初等函数的基础上进行简单变化后的函数以及分段函数，可以借助图象来得到函数的单调区间． 二是复合函数法，主要