2.1.3 方程组的解集（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册（人教B版）

2．1.3　方程组的解集 内　容　标　准 学　科　素　养 1.会用代入法解二元一次方程组和三元一次方程组． 数学运算 逻辑推理 数学建模 2.掌握二元二次方程组的解法． 3.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题. [教材提炼] 知识点　方程组的解集 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．由每个方程的解集得到的交集称为方程组的解集．常用的方法是消元法． [自主检测] 1．方程组的解是(　　) A.　　 B. C. D. 答案：A 2．将方程2x－3y－4＝0变形为用含y的式子表示x的是(　　) A．2x＝3y＋4 B．x＝y＋2 C．3y＝2x－4 D．y＝ 答案：B 3．解方程组若要使运算简便，消元应选(　　) A．先消未知数x B．先消未知数y C．先消未知数z D．先消常数项 答案：B 4．以方程组的解为坐标的点(x，y)在第__________象限． 解析：解方程组得所以x>0，y>0，所以点(x, y)在第一象限． 答案：一 探究一　解三元一次方程组 [例1]　解方程组 [解析]　①＋②，得5x－z＝14.④ ①＋③，得4x＋3z＝15.⑤ 解方程组 得把x＝3，z＝1代入③，得y＝8. 所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(3,8,1)}. 解三元一次方程组，首先将系数较为简单的未知数消去，将“三元”转化为“二元”，再解二元一次方程组即可；或根据各未知数系数的特点，直接将方程相加(减)进行简便运算． 解方程组 解析：①－②×2，得5y－3z＝8.④ ③－②，得3y－3z＝6.⑤ 由④、⑤组成二元一次方程组 解这个二元一次方程组，得把y＝1，z＝－1代入②，得x＝2， 所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(2,1，－1)}． 探究二　解二元二次方程组 [例2]　解方程组 [解析]　(1)×3－(2)得： 3x－y＝1⇒y＝3x－1，　　(3) 代入(1)得：x(3x－1)＋x＝3⇒3x2＝3⇒x1＝1或x2＝－1. 分别代入(3)得：y1＝2或y2＝－4. ∴ 原方程组的解是：.或 解二元二次方程组的注意点 (1)一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解． (2)消x，还是消y，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如方程x－2y＋1＝0，可以消去x，先变形得x＝2y－1，再代入消元． (3)消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值，不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点切记． 解方程组 解析：由(1)得：x2－y2－5(x＋y)＝0⇒(x＋y)(x－y)－5(x＋y)＝0⇒(x＋y)(x－y－5)＝0 ∴x＋y＝0或x－y－5＝0 ∴ 原方程组可化为两个方程组：. 或 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是： .或或或 探究三　二元一次方程组的应用 [例3]　在“某地大地震”灾民安置工作中，某企业捐助了一批板材24 000 m2，某灾民安置点用该企业捐助的这批板材全部搭建成A，B两种型号的板房，供2 300名灾民临时居住．已知建一间A型板房和一间B型板房所需板材及能安置的人数如下表所示： 板房型号 所需板材 安置人数 A型板房 54 m2 5 B型板房 78 m2 8 问：该灾民安置点搭建A型板房和B型板房各多少间？ [解析]　设该灾民安置点搭建A型板房x间，B型板房y间．由题意得，解得 答：该灾民安置点搭建A型板房300间，B型板房100间． 用二元一次方程组解决实际问题的步骤 (1)审题：弄清题意和题目中的数量关系； (2)设元：用字母表示题目中的未知数； (3)列方程组：根据2个等量关系列出方程组； (4)解方程组：利用代入消元或加减消元解出未知数的值； (5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答． 随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需要600元；打折后，阳光敬老院买了50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子共花了5 200元． (1)求打折前甲品牌粽子和乙品牌粽子每盒各多少元； (2)求打折后阳光敬老院购买这批粽子比不打折节省了多少元？ 解析：(1)设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据题意，得 解得 答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元． (2)50×40＋40×120－50×0.8×40－40×0.75×120＝1 600(元)． 答：打折后阳光敬