2.2.1 第1课时 不等式及其性质（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册（人教B版）

2．2　不等式 2．2.1　不等式及其性质 第1课时　不等式及其性质 内　容　标　准 学　科　素　养 1.通过具体情境，感受日常生活中的不等关系． 数学抽象 逻辑推理 2.初步学会作差法比较两实数的大小． 3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. [教材提炼] 知识点一　不等关系 不等式中文字语言与数学符号之间的转换 大于 小于 大于等于 小于等于 至多 至少 不少于 不多于 > < ≥ ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ 其中a≥b⇔a＞b或a＝b，a≤b⇔a＜b或a＝b. 知识点二　比较两个实数(代数式)大小 作差法的理论依据： a>b⇔a－b>0； a＝b⇔a－b＝0； a<b⇔a－b<0. 知识点三　不等式的基本性质及推论 1．不等式的性质 性质 别名 内容 性质1 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 性质2 可乘性 a＞b，c＞0⇒ac＞bc 性质3 a＞b，c＜0⇒ac＜bc 性质4 传递性 a>b，b>c⇒a>c 性质5 对称性 a>b⇔b＜a 2.不等式的推论 推论 别名 内容 推论1 　 a＋b＞c⇔a＞c－b 推论2 同向不等式相加 a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d 推论3 同向不等式相乘 a＞b＞0, c＞d＞0⇒ac＞bd 推论4 可乘方性 a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n＞1) 推论5 可开方性 a＞b＞0⇒＞ [自主检测] 1．实数m不超过，是指(　　) A．m＞　　　　　　　　 B．m≥ C．m＜ D．m≤ 答案：D 2．已知a＜b＜0，c＜d＜0，那么下列判断中正确的是(　　) A．a－c＜b－d B．ac＞bd C. D．ad＞bc＜ 答案：B 3．设a＞b，c＞d，则下列不等式成立的是(　　) A．a－c＞b－d B．ac＞bd C. D．b＋d＜a＋c＞ 答案：D 4．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是________． 答案：f(x)＞g(x) 探究一　作差法比较大小 [例1]　设x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小． [解析]　(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)(x2＋y2)－(x－y)(x＋y)2 ＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2] ＝(x－y)(－2xy)． 由于x＜y＜0，所以x－y＜0，－2xy＜0， 所以(x－y)(－2xy)＞0， 即(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)． 作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤：作差→ 变形→ 定号→结论． (2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论． 将本例中“x＜y＜0”变为“x＞y＞0”，这两个代数式的大小如何？ 解析：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝－2xy(x－y) 由x＞y＞0得－2xy＜0，x－y＞0 ∴－2xy(x－y)＜0 ∴(x2＋y2)(x－y)＜(x2－y2)(x＋y) 探究二　用不等式的性质证明不等式 [例2]　(1)已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：. ＞ [证明]　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0， 又∵a＞b＞0，∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0， 即a－c＞b－d＞0，∴0＜， ＜ 又∵e＜0，∴. ＞ (2)已知b克糖水中含有a克糖(b＞a＞0)，再添加m克糖(m＞0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立． [证明]　， ＝＝－ ∵b＞a＞0，m＞0，∴a－b＜0， ＜0， ∴.＜ 利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 探究三　求表达式的范围 [例3]　已知30＜x＜42,16＜y＜24，分别求x＋y，x－3y及的范围． [解析]　因为30＜x＜42,16＜y＜24， 所以30＋16＜x＋y＜42＋24， 故46＜x＋y＜66. 又30＜x＜42，－72＜－3y＜－48， 所以30－72＜x－3y＜42－48， 故－42＜x－3y＜－6. 又30＜x＜42，－42＜x－3y＜－6， 所以－， ＜－＜ 所以0＜， ＜＜－ 所以， ＜＜－ 故－， ＜－＜ 得－7＜.＜－ 根据某些代数式的范围求其它代数式的范围，要整体应用已知的代数式，结合