2.2.1 第2课时 不等式的证明（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册（人教B版）

第2课时　不等式的证明 内　容　标　准 学　科　素　养 1.掌握综合法、分析法证明问题的过程和推理特点，能用综合法、分析法证明简单问题． 逻辑推理 数学抽象 2.能正确区分综合法和分析法的推理特点，灵活选用恰当的方法证明问题． 3.了解反证法的定义，掌握反证法的推理特点．掌握反证法证明问题的一般步骤，能用反证法证明一些简单的命题. [教材提炼] 知识点一　综合法 综合法是从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法． 知识点二　反证法 反证法是首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立． 知识点三　分析法 分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件． [自主检测] 1．分析法证明问题是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的(　　) A．充分条件　　　　　 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：分析法证明是从所证命题的结论出发，寻求使结论成立的充分条件． 答案：A 2．实数a，b，c不全为0等价于(　　) A．a，b，c均不为0 B．a，b，c中至多有一个为0 C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c中至少有一个不为0 解析：不全为0即至少有一个不为0，故选D. 答案：D 3．在不等式“a2＋b2≥2ab”的证明中：因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0所以a2＋b2≥2ab，该证明运用的方法是________． 解析：由因导果，易知该证法为综合法． 答案：综合法 探究一　综合法 [例1]　(1)已知a>b，e>f，c>0.求证：f－ac<e－bc； (2)若bc－ad≥0，bd>0.求证：. ≤ [证明]　(1)∵a>b，c>0，∴ac>bc， ∴－ac<－bc.∵f<e， ∴f－ac<e－bc. (2)∵bc－ad≥0，∴ad≤bc， ∵bd>0， ∴＋1， ＋1≤，∴≤ ∴.≤ 综合法处理问题的三个步骤 已知x＋y＋z＝m.求证x2＋y2＋z2≥. 证明：∵x＋y＋z＝m， ∴(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)＝m2. 又∵x2＋y2≥2xy，y2＋z2≥2yz，z2＋x2≥2xz， ∴2(x2＋y2＋z2)≥2(xy＋yz＋zx)， 即x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋zx， ∴m2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)≤3(x2＋y2＋z2)． ∴x2＋y2＋z2≥. 探究二　反证法 [例2]　已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数． [证明]　假设a，b，c，d都是非负数， 因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1. 又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd， 所以ac＋bd≤1， 这与已知ac＋bd>1矛盾， 所以a，b，c，d中至少有一个是负数． 反证法证明问题的一般步骤 若x>0，y>0，且x＋y>2，求证至少有一个小于2. 与 证明：假设都不小于2， 与 即≥2. ≥2， ∵x>0，y>0，∴1＋y≥2x,1＋x≥2y， 两式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)． ∴x＋y≤2，这与已知中x＋y>2矛盾． ∴假设不成立，原命题成立． 故至少有一个小于2.与 探究三　分析法 [例3]　已知a>b>0，求证. <－< [证明]　要证， <－< 只需证. << ∵a>b>0， ∴同时除以， 得， <1< 同时开方，得， <1< 只需证， >2＋，且<2＋ 即证，即证b<a. < ∵a>b>0，∴原不等式成立， 即.<－< 1.分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式． 2．分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误. 已知a>0，b>0，求证. ＋≥＋ 证明：要证， ＋≥＋ 只需证， ＋≥ 只需证(， ＋b)3≥a)3＋( 只需证(≥0， －b)3－a)3＋( 即证()(a－b)≥0， － 即()≥0. ＋)2(－ ∵()≥0显然成立．＋)2(－ ∴原不等式成立． 一、复习巩固 1．要证明可选择的方法有以下几种，其中最合理的为(　　) <2＋ A．综合法　　　　　　 B．分析法 C．反证法 D．归纳法 解析：要证明最合理的方法是分析法． <2＋ 答案：B 2．应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用(　　) ①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论． A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 解析：反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的