2.2.3 一元二次不等式的解法（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册（人教B版）

2．2.3　一元二次不等式的解法 内　容　标　准 学　科　素　养 1.通过实例了解一元二次不等式． 数学运算 逻辑推理 2.掌握一元二次不等式的解法． 3.会解简单的分式不等式. [教材提炼] 知识点一　一元二次不等式的概念 一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c为常数，而且a≠0.不等式中的不等号也可以是“＜”“≥”“≤”等． 知识点二　一元二次不等式的解法 一般地，如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)． [自主检测] 1．不等式x＞x2的解集是(　　) A．{x|x＞1}　　　　 B．{x|x＜0} C．{x|0＜x＜1} D．R 答案：C 2．不等式x2＋6x＋10＜0的解集是(　　) A．∅ B．R C．{x|x＞5} D．{x|x＜2} 答案：A 3．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a＜0，那么ax2＋bx＋c＞0的解集为(　　) A．{x|x＞3或x＜－2} B．{x|x＞2或x＜－3} C．{x|－2＜x＜3} D．{x|－3＜x＜2} 答案：C 4．不等式－x2＋x－2＜0的解集为________． 答案：R 探究一　一元二次不等式的解法 [例1]　解下列不等式． (1)－x2＋2x－＞0； (2)－x2＋3x－5＞0； (3)4x2－18x＋≤0. [解析]　(1)两边都乘以－3，得3x2－6x＋2＜0， ∵3＞0，Δ＝36－24＝12＞0，且方程3x2－6x＋2＝0的根是x1＝1－. ，x2＝1＋ ∴原不等式的解集是{x|1－}． ＜x＜1＋ (2)不等式可化为x2－6x＋10＜0， Δ＝(－6)2－4×10＝－4＜0， ∴原不等式的解集为∅. (3)不等式可化为16x2－72x＋81≤0， 即(4x－9)2≤0， ∵4x－9＝0时，x＝. ∴原不等式的解集为{x|x＝}． 解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集. 1．求不等式2x2－3x－2≥0的解集． 解析：∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－，x2＝2，且a＝2＞0， ∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是. 2．解不等式－x2＋2x－3＞0. 解析：不等式可化为x2－2x＋3＜0. 因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0， 方程x2－2x＋3＝0无实数解， 而y＝x2－2x＋3的图像开口向上， 所以原不等式的解集是∅. 探究二　含参数的一元二次不等式 [例2]　解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R)． [解析]　原不等式可化为(x－a)(x－a2)＞0. 当a＜0时，a＜a2，原不等式的解集为{x|x＜a，或x＞a2}； 当a＝0时，x2＞0，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当0＜a＜1时，a2＜a，原不等式的解集为{x|x＜a2，或x＞a}； 当a＝1时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠1}； 当a＞1时，a＜a2，原不等式的解集为{x|x＜a，或x＞a2}． 综上所述： 当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|x＜a，或x＞a2}； 当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|x＜a2，或x＞a}； 当a＝0时，解集为{x|x≠0}； 当a＝1时，解集为{x|x≠1}． 解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论． 将本例不等式变为：解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R，a＞0)． 解析：因为a＞0，所以原不等式等价于(x－1)＜0. ①当a＝1时，(x－1)＜0无解； ＝1， ②当a＞1时，＜x＜1； (x－1)＜0，得＜1，解 ③当0＜a＜1时，(x－1)＜0， ＞1，解 得1＜x＜. 综上，a＞1时，不等式的解集为{x|＜x＜1}； a＝1时，不等式的解集为∅； 0＜a＜1时，不等式的解集为{x|1＜x＜}． 探究三　解简单的分式不等式 [例3]　解不等式． (1)＜0； (2)≤2. [解析]　(1)由＞0. ＜0，得 此不等式等价于(x＋2)(x－1)＞0. ∴原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞1}． (2)法一：移项，得－2≤0， 左边通分并化简，得≥0， ≤0，即 它的同解不等式为 ∴x＜2或x≥5. 原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}． 法二：原不等式可化为≥0， 此不等式等价于① 或② 解①，得x≥5. 解②，得x＜2. ∴原不等式的解集为{x|x