2.2.3 一元二次不等式的解法-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版教程】创新导学案word（人教B版）

2.2.3　一元二次不等式的解法 (教师独具内容) 课程标准：1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.2.能求解一元二次不等式的解集，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 教学重点：一元二次不等式的概念，一元二次不等式的解法． 教学难点：一元二次不等式的解法． 核心素养：1.通过学习一元二次不等式的概念培养数学抽象素养.2.通过求一元二次不等式的解集培养数学运算素养． 　 　　　　　　　　　　　 知识点一　一元二次不等式的概念 一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等． 知识点二　一元二次不等式的解法 (1)因式分解法 一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)·(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞). (2)配方法 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集． 含有参数的一元二次型的不等式 在解含有参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑： ①关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0. ②关于不等式对应的方程根的讨论：两个不同的实根(Δ>0)，两个相同的实根(Δ＝0)，无实根(Δ<0)． ③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)x(x－2)>0的解集为(0,2)．(　　) (2)(x＋a)(x＋a＋1)<0(a是常数)是一元二次不等式．(　　) (3)若不等式ax2＋bx＋c<0可转化为a(x－1)(x＋1)<0，则ax2＋bx＋c<0的解集为(－1，1)．(　　) (4)不等式>0的解集为x>4或x<－.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)不等式x2－2x＋3>0的解集为________. (2)不等式－x2－3x＋4>0的解集为________. (3)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝________. 答案　(1)R　(2)(－4,1)　(3) 　 　　　　　　　　　　　　　　　 题型一 不含参数的一元二次不等式的解法 例1　求下列不等式的解集： (1)2x2＋7x＋3>0；(2)x2－4x－5≤0； (3)x2－3x＋1≤0；(4)－4x2＋18x－≥0； (5)－x2＋3x－5>0；(6)－2x2＋3x－2<0. [解]　(1)原不等式可化为(2x＋1)(x＋3)>0，从而转化为两个不等式组 或 因此原不等式的解集为(－∞，－3)∪. (2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0， 因此原不等式的解集为[－1,5]． (3)原不等式可化为2－≤0，即2≤.两边开平方得|x－|≤，从而－≤x－≤，因此－≤x≤＋，所以原不等式的解集为. (4)原不等式可化为2≤0， 所以原不等式的解集为. (5)原不等式可化为x2－6x＋10<0，即(x－3)2＋1<0，因此原不等式的解集为∅. (6)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，即22＋>0，因此原不等式的解集为R. 解不含参数的一元二次不等式的方法 (1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集． (2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得． (3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法． [跟踪训练1]　求下列不等式的解集： (1)3x2＋5x－2>0；(2)x2＋4x－3≥0； (3)－9x2＋6x－1<0；(4)x2－4x＋5>0； (5)2x2＋x＋1<0. 解　(1)原不等式可化为(3x－1)(x＋2)>0，所以原不等式的解集为(－∞，－2)∪. (2)原不等式可化为(x＋2)2≥7，两边开平方得|x＋2|≥，从而x＋2≥或x＋2≤－，因此x≥－2＋或x≤－2－，所以原不等式的解集为(－∞，－2－]∪[－2＋，＋∞)． (3)原不等式可化为(3x－1)2>0， 所以原不等式的解集为∪. (4)原不等式可化为(x－2)2＋1>0， 所以原不等式的解集为R. (5)原不等式可化为22＋<0， 所以原不等式的解集为∅. 题型二 含参数的一元二次不等式的解法 例2　求不等式