考点03 实际问题与二次函数-【高频考点】2021-2022学年九年级数学下册高频考点专题突破（华东师大版）

考点03 实际问题与二次函数 知识框架 一、基础知识点 知识点3-1 列二次函数解决实际问题的一般步骤 1）列二次函数解决实际问题的原则，与一元二次方程的实际问题原则类似： ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设出2个变量，注意区分自变量和因变量（与一元二次方程不同的地方）； ③依据等量关系式和变量建立函数关系式，转化为二次函数问题； ④解决二次函数，并解答。 注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。 1．（2021·江苏连云港市·中考真题）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元． 【答案】1264 【分析】根据题意，总利润=快餐的总利润＋快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可． 【详解】解：设种快餐的总利润为，种快餐的总利润为，两种快餐的总利润为，设快餐的份数为份，则B种快餐的份数为份． 据题意： ∴ ∵ ∴当的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元故答案为：1264 【点睛】本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点． 2．（2021·吉林长春市·九年级一模）如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高．若人梯到起跳点A的水平距离为4米，则人梯BC的高为__米． 【答案】3.4 【分析】根据题意可得抛物线的对称轴为x＝2.5，可求得b的值，点B的横坐标为4，代入后可得出点B的纵坐标，继而得出人梯高BC的长度． 【详解】解：∵跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高． ∴抛物线的对称轴为x＝2.5，∴x＝﹣＝2.5，解得：b＝3，∴抛物线为y＝， ∵人梯到起跳点A的水平距离是4，∴点B的横坐标为4， 则yB＝﹣×42+3×4+1＝3.4，即BC＝3.4米．故答案为：3.4． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题关键是根据题意求出二次函数解析式，属于基础题． 3．（2021·盐城市初级中学九年级期中）小明为了能在4月份的体育加试中取得好成绩，每天进行掷实心球训练：当投掷实心球时会产生竖直向上的速度和水平向前的速度，研究表明：当这两个速度相等时，投掷距离最远．实心球在投掷的过程中的高度y与实心球出手后的时间t满足：y＝－5t2＋bt＋2，水平距离x＝at，a是出手后实心球水平向前的速度，b为出手后竖直向上的速度． （1）当时，①写出x与t的函数表达式为 ，y与t的函数表达式为 ； ②结合所给的平面直角坐标系，求出y与x的函数表达式及此时投掷距离． （2）当a＝b时，点O为投掷点，实心球落在圆心角为45°的∠AOB区域内时成绩有效，以实心球的落地点与投掷点O的距离为学生的投掷距离，已知落地点P在∠AOB区域内且到边界的距离PM＝m，PN＝6m，求出小明投掷的距离及实心球在此次投掷中的最高高度． 【答案】（1）①，；②，8m；（2）投掷距离为10m，2.006m 【分析】（1）①根据题意直接代入数值即可，②将①中的两式联立即可求出表达式，当时即可求出投掷距离；（2）先求出投掷距离，确定此时的表达式，求最值即可． 【详解】解：（1）①当时，，， 故答案为，； ②，① ，② 联立①②可得， 故与的函数表达式为， 当时得方程，解得或（舍去），故投掷距离为8m； （2）作于，于，四边形为矩形，即， ，，， 又，，，，， 又，，即投掷距离为10m， ，，， 当时，，，解得， ，，，当时达到最高高度， 此时，故此次投掷中的最高高度为2.006m． 【点睛】此题考查与斜抛运动相关的数学知识，利用二次函数求最值是本题的解题关键． 4．（2021·江苏九年级期中）疫情期间，学校按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数（单位：人）随时间（单位：分钟）的变化情况如图所示，当时，可看作是的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为；当时，累计人数保持不变． （1）求与之间的函数表达式；（2）如果学生一进校就开始测量体温，校门口有2个体温检测棚，每个检测点每分钟可检测20人．校门口排队等待体温检测的学生人