考点02 二次函数与一元二次方程及几何图形综合-【高频考点】2021-2022学年九年级数学下册高频考点专题突破（华东师大版）

考点02 二次函数与一元二次方程及几何图形综合 知识框架 基础知识点 知识点2-1 二次函数图像与一元二次方程的联系 1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3．如下图所示： 判别式 >0 =0 <0 图像 与x轴交点 2个（2解） 1个（1解） 0个（无解） 方程的解 无 解 （1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 1．（2021·湖南永州市·九年级一模）在求解一元二次方程－2x2＋4x＋1＝0的两个根x1和x2时，某同学使用电脑绘制了如图所示的二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象，然后通过观察抛物线与x轴的交点，该同学得出－1<x1<0，2<x2<3的结论，该同学采用的方法体现的数学思想是（ ） A．类比 B．演绎 C．数形结合 D．整体思想 2．（2021·陕西西安市·交大附中分校九年级一模）若直线y＝n截抛物线y＝x2+bx+c所得线段AB＝4，且该抛物线与x轴只有一个交点，则n的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．25 D．4 3．（2021·浙江九年级二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴正半轴交于A（p，0）和B（q，0）两点（点A在点B的左边），方程ax2+bx+c=x（a＞0）的解为x＝m或x＝n（m＜n），则p，q，m，n的大小关系可能是（　　） A．p＜q＜m＜n B．m＜n＜p＜q C．m＜p＜q＜n D．p＜m＜n＜q 4．（2021·河南九年级二模）若二次函数的图象与轴无交点，则的取值范围为（ ） A． B． C．且 D．且 5．（2021·江苏无锡市·九年级二模）如图，二次函数与一次函数的图像相交于点和，则使不等式成立的x的取值范围是__________． 6．（2021·河南九年级一模）已知抛物线y＝﹣x2＋2ax﹣4 （1）讨论抛物线与x轴的交点个数， （2）若a＝1，当﹣2≤x≤m时，该函数的最大值与最小值之差为4m，求实数m的值． 链接材料：对于解一元二次不等式，常采用数形结合的方式． 例：解不等式：x2＋x﹣2＞0. 解：不等式x2＋x﹣2＞0的解集， 等价于不等式（x﹣1）（x＋2）＞0的解集， 等价于函数y＝（x﹣1）（x＋2）的图象在x轴上方部分对应的x的取值范围． 如图，在平面直角坐标系（隐去y轴）中，画出函数y＝（x﹣1）（x＋2）的大致图象，由图象可知：函数y＝（x﹣1）（x＋2）的图象在x轴上方时，对应的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1 ∴不等式x2＋x﹣2＞0的解集是x＜﹣2或x＞1 知识点2-2 二次函数与几何图形问题 利用题干中的特殊几何关系，找出点的坐标，利用待定系数法求解析式。 （1）长度、面积 解题技巧：题干中涉及面积时，我们需要想办法将面积条件转化为点的信息，在利用点的方法求解解析式。 常见面积是三角形的面积，我们通常选平行于坐标轴的边为底边，另一点到底边的距离为三角形的高。 注：高、底是两点间的距离，若已知1点，则另1点有2中情况，即：在已知点的左右两边。 1．（2020·广东省初三其他）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知点、、、分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的弦的长为_________． 2．（2021·扬州中学教育集团树人学校九年级一模）如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P点为该图象在第一象限内的一点，过点P作直线BC的平行线，交x轴于点M．若点P从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点M经过的路程为_____． 3．（2021·四川九年级期末）如图，抛物线的开口向下，与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．已知C(0，4)，顶点D的横坐标为﹣，B(1，0)．对称轴与x轴交于点E，点P是对称轴上位于顶点下方的一个动点，将线段PA绕着点P顺时针方向旋转90°得到线段PM．（1）求抛物线的解析式；（2）当点M落在抛物线上时，求点M的坐标；（3）连接BP并延长交抛物线于点Q，连接CQ．与对称轴交于点N．当QPN的面积等于QBC面积的一半时，求点Q的横坐标． 4．（2021·陕西九年级期末）如图抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，交y轴于