专题26.11 二次函数推理计算与证明问题大题专练（重难点培优）-2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【华东师大版】

2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【华师大版】 专题26.11二次函数推理计算与证明问题大题专练（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷试题共24题，答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一．解答题（共24小题） 1．（2021•芜湖模拟）已知二次函数，，为常数，． （1）若，求二次函数的顶点坐标． （2）若，设函数的对称轴为直线，求的值． （3）点，在函数图象上，点，在函数图象上．若函数图象的对称轴在轴右侧，当，时，试比较，的大小． 【分析】（1）化成顶点式即可求得； （2）根据对称轴公式即可求得； （3）根据题意求得，即可判断函数图象开口向下，令，解得或，即可得出两抛物线的交点的横坐标为0和1，据此函数图象，根据图象即可求得． 【解答】解：（1）若，则， ， 二次函数的顶点坐标为； （2）若，则， 对称轴为直线， 设函数的对称轴为直线，则； （3）函数图象的对称轴在轴右侧， ， ， 函数图象开口向下， ， ， 令，整理得， 解得或， 两抛物线的交点的横坐标为0和1， 如图， 由图象可知，当，． 方法二： ， ，， ，， ， ． 2．（2021•杭州一模）在平面直角坐标系中，设二次函数是实数）． （1）当时，若点在该函数图象上，求的值． （2）小明说二次函数图象的顶点可以是，你认为他的说法对吗？为什么？ （3）已知点，都在该二次函数图象上，求证：． 【分析】（1）把点代入解析式即可求得； （2）根据题意得出，，两个等式求得的的值不同，即可判断小明说法错误； （3）由点，的纵坐标相同，即可求得对称轴为直线，即可得出，求得，得到，代入解析式即可得到，根据二次函数的性质即可证得结论． 【解答】解：（1）当时，则， 点在该函数图象上， ； （2）若顶点是，则①，②， 由①得，由②得， 故小明说法错误； （3）点，都在该二次函数图象上， 对称轴为直线， ， ， ， ， ． 3．（2021•新疆）已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）把抛物线沿轴向下平移个单位，若抛物线的顶点落在轴上，求的值； （3）设点，在抛物线上，若，求的取值范围． 【分析】（1）根据，可得抛物线的对称轴为：直线； （2）由根的判别式△，建立等式可求出的值； （3）分或两种情况，利用数形结合思想，结合两个点距抛物线对称轴的距离列不等式求解． 【解答】解：（1）由题意可得，抛物线的对称轴为：直线； （2）抛物线沿轴向下平移个单位，可得， 抛物线的顶点落在轴上， △，解得或． （3）①当时，则原抛物线开口向上，若，，则点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ，即， 或， 解得：或， 又， ； ②当时，则原抛物线开口向下， 若，，则点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ，即， ， 解得：， 又，故此情况不成立， 综上，的取值范围为． 4．（2021•焦作模拟）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，抛物线的顶点为． （1）若抛物线经过点时，求顶点的坐标； （2）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值，由顶点坐标可求点坐标； （2）分顶点在线段下方和线段上两种情况讨论，由图象列出不等式组可求解． 【解答】解：（1）由题意可得：， ， 抛物线的解析式为：， ， 顶点坐标为，； （2）如图，当顶点在线段下方时， 由题意可得：， 解得：； 当顶点在时，当时，， ， ， 综上所述：当或时，抛物线与线段恰有一个公共点． 5．（2020秋•长春期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点． （1）求点的坐标． （2）用含的式子表示． （3）当时，随的增大而减小，求的取值范围． （4）直线上有一点，将点向右平移4个单位长度，得到点．当抛物线与线段只有一个公共点时，直接写出的取值范围． 【分析】（1）把代人即可求得； （2）把点代入，即可求解； （3）当时，依题意抛物线的对称轴需满足；当时，依题意抛物线的对称轴需满足，即可求解； （4）①当时，若抛物线与线段只有一个公共点，则抛物线上的点，在点的下方，即可求解；②当时，若抛物线的顶点在线段上，则抛物线与线段只有一个公共点，即可求解． 【解答】解：（1）抛物线经过点，与轴交于点． 当时，， ； （2）把点代入中，得． ； （3）当时，依题意抛物线的对称轴需满足， 解得． 当时，依题意抛物线的对称轴需满足， 解得． 的取值范围是或； （4）设直线的表达式为：，则，解得：， 故直线表达式为，把代入得． ，由平移得，． ①当时，若抛物线与线段只有一个公共点（如图， ， 当时