专题04 数轴动点问题中的新定义问题-2021-2022学年七年级数学上学期巧用五个工具解答四类数轴动点问题（人教版）

专题04 数轴动点问题中的新定义问题 例1．（2021·山东沂南期末）有如下定义：数轴上有三个点，若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”．若点A表示数﹣4，点B表示数8，M为数轴一个动点．若点M在线段AB上，且点M是点A、点B的“关键点”，则此时点M表示的数是________． 【答案】5或﹣1. 【解析】解：设点M表示的数是x ， ∴MA＝x﹣（﹣4）＝x+4；BM＝8﹣x， ∵若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”， ∴MA＝3BM或BM＝3MA， ∴x+4＝3（8﹣x）或8﹣x＝3（x+4）， 解得：x＝5或x＝﹣1． 故答案为：5或﹣1． 例2．（2021·北京期中）在同一直线上的三点A、B、C，若满足点C到另两个点A、B的距离之比是2，则称点C是其余两点的亮点（或暗点），具体地，当点C在线段AB上时，若 ，则称点C是[A，B]的亮点；若点C在线段AB延长线上， ，则称点C是 的暗点，例如，如图1，在数轴上 分别表示数，-1，2，1，0，则的点C是 的亮点，又是 的暗点；点D是 的亮点，又是 的暗点． （1）如图2，M、N为数轴上的两点，点M表示的数为－2，点N表示的数为4，则 的亮点表示的数是 ， 的暗点表示的数是 ； （2）如图3，数轴上的点A所表示的数为点所表示的数为－20，点B表示的数为40，一只电子蚂蚁P从点B出发以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t秒． ①求当t为何值时，P是 的暗点； ②求当t为何值时，P、A和B三个点中恰有一个点为其余两点的亮点． 【答案】（1）2，-8；（2）①t=60；②当点P为 亮点时，t=10；当点P为 亮点时，t=20；当点A为 亮点时，t=90；当点A为 亮点时，t=45. 【解析】解：（1）根据题意， 的亮点表示的数在线段MN上， 设亮点表示的数为x， 则x+2=2（4-x）， 解得：x=2 ∴ 的亮点表示的数是：2； 根据题意， 的暗点表示的数在线段NM延长线上， 设暗点为y， 则4-y=2（-2-y） 解得，y=-8 故答案为：2，-8； （2）①根据题意，点P是 的暗点，即点P在线段BA的延长线上 ∴PB=2t，PA=2t-60 ∵PB=2PA ∴2t=2(2t-60) 解得：t=60； ②当点P为 亮点时，即P在线段AB上 ∴PB=2t，PA=60-2t ∴60-2t=2×2t ∴t=10 当点P为 亮点时，即P在线段AB上 ∴2（60-2t）=2t ∴t=20； 当点A为 亮点时，即A在线段PB上 同理，2t-60=2×60 ∴t=90 当点A为 亮点时，即A在线段BP上 2（2t-60）=60 ∴t=45 B点不可能在线段AP上，故B不可能是[A,P]、[P,A]的亮点 综上所述，当点P为 亮点时，t=10；当点P为 亮点时，t=20；当点A为 亮点时，t=90；当点A为 亮点时，t=45． 例3．（2021·北京市期中）对于数轴上的两点P，Q给出如下定义：P，Q两点到原点О的距离之差的绝对值称为P，Q两点的“绝对距离”，记为 ． 例如，P，Q两点表示的数如图（1）所示，则 ． （1）A，B两点表示的数如图（2）所示． ①求A，B两点的“绝对距离”； ②若点C为数轴上一点（不与点О重合），且 ，求点C表示的数． （2）点M，N为数轴上的两点（点M在点N左侧）且 ， ，请直接写出点M表示的数为________． 【答案】（1）①2；②2或-2；（2） 或 【解析】解：（1）①求A，B两点的绝对距离=2, ②∵ =2, 又 ， ∴ ，即 ∴OC=0或OC=2 ∵C不与O重合 ∴点C表示的数为2或-2. （2）由题可知 = 得：MO-NO=1或MO-NO=-1 ∵点M在点N左侧 ∴①当M、N都在原点的左侧时， ∵MN=2， ∴MO-ON=1≠2， 该情况不存在， ②当M、N都在原点的右侧时， 同理知，此情况不存在， ③当M点在原点的左侧，N点在原点的右侧时， ∵MN=2， 即MO+NO=2 又MO-NO=1或MO-NO=-1 ∴点M表示的数为 或 ． 例4．（2021·江苏省锡山期中）如图，数轴上点A表示的数为-3，点B表示的数为4，阅读并解决相应问题． （1）问题发现：若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n节点”．如图1，若点P表示的数为1，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为4+3=7，则称点P为点A、B的“7节点”． 填空：①若点P表示的数为 ，则n的值为 ； ②数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为A、B的“7节点”，则这样