专题01 五个工具及数轴单动点问题中的分类讨论-2021-2022学年七年级数学上学期巧用五个工具解答四类数轴动点问题（人教版）

专题01 五个工具及数轴单动点问题中的分类讨论 工具一、含绝对值的方程 原理：若|x|=a （a>0），则x=a或x=－a 若|x|=|a|，则x=a或x=－a. 例：解方程 （1）|x－1|=2；（2）|x+1|=2|2+x| 解：（1）x－1=2或x－1=－2 即x=3或x=－1 （2）x+1=2（2+x）或x+1=－2（2+x） 即x+1=4+2x或x+1=－4－2x 即x=－3或x= . 工具二、数轴上点移动规律 数轴上点A表示的数为x，A点向右移动b个单位长度后到达点B；A点向左移动c个单位长度到达点C； 则B点表示的数为 x+b ；C点表示的数为 x－c 简记为：{ 左减右加 } 工具三、速度、时间、运动距离之间的关系及用时间、速度表示数轴上点代表的数 路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 例：数轴上点A表示数为a，点P从A点出发，沿数轴向正方向移动，速度为2单位/秒，则t秒后（t>0），A、P两点间的距离为 2 t ，P点表示的数为 a+2t . 点Q从A点出发，沿数轴向负方向移动，速度为1.5单位/秒，则t秒后（t>0），A、Q两点间的距离为 1.5t ，Q点表示的数为 a－1.5t . 工具四、数轴上两点间中点表示的数 如图，A是PQ的中点，则AQ=AP（PQ=2AP=2AQ） 则a－y=x－a 即2a=x+y 即 工具五、数轴上两点间距离 数轴上两点P、Q代表的数分别为x，y则PQ=|x－y| 当x>y时，PQ=x－y；当x<y时，PQ=y－x 简单记为：{知大小，大减小；不知大小，差的绝对值} 【例题精讲】 例1. （2021·辽宁和平期中）（1）画出数轴，用数轴上的点表示下列各数，并用“ ”将它们连接起来： ， ，0，1， ． （2）数轴上点 表示的数为 的绝对值，点 表示的数为1的相反数，点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向正方向匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向负方向匀速运动．当运动时间为5秒时，请直接写出点P表示的数为________，点Q表示的数为________，点P和点Q之间的距离为_______个单位长度． 例2．（2021·山东高新技术产业开发区期中）已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，A、B之间的距离记为|AB|＝|a﹣b|或|b﹣a|，请回答问题： （1）当a＝﹣3，b＝2时，|AB|＝　 　． （2）设点P在数轴上对应的数为x，若|x﹣3|＝5，则x＝　 　． （3）如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为﹣1，动点P表示的数为x． ①若点P在点M、N之间，则|x＋1|＋|x﹣4|＝　 　． ②若|x＋1|＋|x﹣4|＝10，则x＝　 　． ③若点P表示的数是﹣5，现在有一蚂蚁从点P出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是8？ 例3．（2021·湖南汨罗市期中）如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，点C到点A、点B的距离相等，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t大于0）秒． （1）点C表示的数是　 　． （2）求当t等于多少秒时，点P到达点A处？ （3）点P表示的数是　 　（用含字母t的式子表示） （4）求当t等于多少秒时，P、C之间的距离为2个单位长度． 例4．（2021·福建建宁期中）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为 ，2，线段AB的中点为M．点P以2个单位长度/秒的速度从点A出发，向数轴的正方向运动．同时，动点Q以1个单位长度/秒的速度从点B出发，向数轴的负方向运动． （1）线段AB的长度为 个单位长度，点M表示的数为 ． （2）当点Q运动到点M时，点P运动到点N，则MN的长度为 个单位长度． （3）设点P运动的时间为t秒．是否存在这样的t，使PA+QA为7个单位长度？如果存在，请求出t的值和此时点P表示的数；如果不存在，请说明理由． 例5．（2021·江苏期中）如图，在数轴上点A表示的数是﹣3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18；点C在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍． （1）点B表示的数是　 　；点C表示的数是　 　； （2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒. ①当P运动到C点时，点Q所表示的数是多少? ②当t为何值时，P、Q之间的距离为6 ? ③若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB.在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC +