第2章 圆锥曲线（压轴题专练）-2021-2022学年高二数学上学期期中期末考试满分全攻略（沪教版2020）

选修一第2章圆锥曲线压轴题专练 一、单选题 1．（2021·上海·高二专题练习）已知椭圆过右焦点F作不垂直于x轴的弦交椭圆于A，B两点，AB的垂直平分线交x轴于N，则|NF|：|AB|等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出直线的参数方程，代入椭圆方程，化简后写出韦达定理.利用直线参数的几何意义表示出，由此求得两者的比值. 【详解】依题意可知，椭圆的右焦点为.设直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角，）.代入椭圆，化简得，所以.设的中点为，则中点对应的参数，所以.而.所以. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题. 2．（2021·上海·高二专题练习）双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系中,把到定点,距离之积等于（）的点的轨迹称为双纽线C.已知点是双纽线C上一点,下列说法中正确的有（ ） ①双纽线C关于原点O中心对称； ②； ③双纽线C上满足的点P有两个； ④的最大值为. A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③ 【答案】B 【分析】对①,设动点,把关于原点对称的点代入轨迹方程,显然成立； 对②,根据的面积范围证明即可. 对③,易得若则在轴上,再根据的轨迹方程求解即可. 对④,根据题中所给的定点,距离之积等于,再画图利用余弦定理分析中的边长关系,进而利用三角形三边的关系证明即可. 【详解】 对①,设动点,由题可得的轨迹方程,把关于原点对称的点代入轨迹方程显然成立.故①正确； 对②,因为,故. 又,所以, 即,故.故②正确； 对③, 若则在的中垂线即轴上. 故此时,代入， 可得,即,仅有一个.故③错误； 对④,因为,故, 即, 因为, 故. 即, 所以. 又,当且仅当共线时取等号. 故, 即,解得.故④正确. 故①②④正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查了动点轨迹方程的性质判定,因为该方程较复杂,故在作不出图像时,需要根据题意求出动点的方程进行对称性的分析,同时需要结合解三角形的方法对所给信息进行辨析.属于难题. 3．（2021·上海·高二专题练习）设直线系，，对于下列四个命题： （1）中所有直线均经过一个定点； （2）存在定点不在中的任意一条直线上； （3）对于任意整数，，存在正边形，其所有边均在中的直线上； （4）中的直线所能围成的正三角形面积都相等；其中真命题的是（ ） A．（2）（3） B．（1）（4） C．（2）（3） （4） D．（1）（2） 【答案】A 【分析】首先发现直线系表示圆的切线集合，再根据切线的性质判断（1）（3）（4），以及观察得到点不在任何一条直线上，判断选项. 【详解】因为点到直线系中每条直线的距离，直线系表示圆的切线集合. （1）由于直线系表示圆的所有切线，其中存在两条切线平行，所有中所有直线均经过一个定点不可能，故（1）不正确； （2）存在定点不在中的任意一条直线上，观察知点符合条件，故（2）正确； （3）由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数，存在正变形，其所有边均在的直线上，故（3）正确； （4）如下图，中的直线所能围成的正三角形有两类，一类如，一类是,显然这两类三角形的面积不相等，故（4）不正确. 故选：A 【点睛】本题考查含参直线方程，距离公式，轨迹问题的综合应用，重点考查转化与变形，分析问题的能力，属于偏难习题，本题的关键是观察点到直线系中每条直线的距离，直线系表示圆的切线集合，再判断选项就比较容易. 4．（2021·上海·高二专题练习）已知曲线（为常数），给出下列结论： ①曲线为中心对称图形； ②曲线为轴对称图形； ③当时，若点在曲线上，则或； 其中，正确结论是（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】在曲线上任取一点，得到；将点代入曲线方程，可验证点在曲线上，同理可得点、都在曲线上，得到①②正确；当时，得到，反设且，根据题意，推出矛盾，即可得出③正确. 【详解】在曲线上任取一点，则， 将点代入曲线的方程可得， 同理可知，点、都在曲线上， 则曲线关于原点和坐标轴对称，①②正确； 当时，， 反设且，则，， ∴，则， ∴，这与矛盾. ∴假设不成立，∴或，命题③正确. 故正确命题的序号为：①②③. 故选：D. 【点睛】方法点睛：判定曲线对称性的方法，一般任取曲线上的点，结合曲线方程，列出式子；再验证，，是否满足曲线方程，即可得出其对称性. 5．（2021·上海宝山·高二期末）如果一个多边形的所有顶点均在某个函数的图象上，那么称此多边形为该函数的内接多边形.设函数，，若四边形为函数的内接正方形，则此正方形的面积为（ ） A．15或7 B．10或7 C