浙江省A9协作体2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题

2021学年第一学期浙江省A9协作体高二数学期中试题 选择题部分 一、单项选择题 (每小题 5 分) 1. 直线 恒过一定点, 则此定点为( ) A. B. C. D. 2. 已知, 且 , 则的值是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 若直线与互相垂直, 则( ) A. B. 1 C. 或 2 D. 或 4. 已知中心在坐标原点, 以坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线方程是, 则它的离心率为( ) A. B. C. 或 D. 不确定 5. 若直线和圆没有公共点, 则过点的直线与椭圆 的交点个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定 6. 如图, 在三棱柱中, 与相交于点, , 则线段的长度为( ) B. C. D. 7. 设, 点, 过点引圆 的两条切线, 若的最大值为, 则的值为( ) A. 2 B. C. D. 1 8. 已知抛物线和圆, 过点作直线与上述两曲线自左而右依次交于点 , 则的最小值为( ) A. B. 2 C. 3 D. 二、多项选择题 (本题共 4 小题, 每小题满分 5 分, 共 20 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对得 5 分, 部分选对得 2 分, 有选错的得 0 分. ) 9. 已知双曲线, 下列对双曲线的判断正确的是( ) A. 实轴长是虚轴长的2倍 B. 焦距为4 C. 离心率为 D. 渐近线方程为 10. 点在圆 上, 点在圆 上, 则( ) A. 两圆有且仅有两条公切线 B. 的最大值为 10 C. 两个圆心所在直线斜率为 D. 两个圆相交弦所在直线方程为 11. 下列命题中, 正确的有( ) A. 若向量 与空间任意向量都不能构成基底, 则 B. 若非零向量 满足 , 则有 ; C. 在四面体 中, 若 , 则 ; D. 若向量 是空间一组基底, 则 也是空间的一组基底. 12. 已知椭圆上有一点分别为左、右焦点, 的面积为, 则下列选项正确的是( ) A. 若, 则; B. 若, 则满足题意的点有四个; C. 椭圆内接矩形周长的最大值为 20 ; D. 若为钝角三角形, 则; 非选择题部分 三、填空题（本题共 4 小题, 每题 5 分, 其中 16 题第一空 2 分, 第二空 3 分, 共 20 分） 13. 已知直线的向上方向与轴正向所成的角为, 则直线的斜率为( ) 14. 已知为双曲线的左右焦点, 点在双曲线上, 满足, 求 的面积为( ) 15. 已知实数 满足 , 则的最大值为( ) 16. 已知是抛物线上异于坐标原点的两点, 满足, 且 面积的最小值为36 , 则正实数; 若交于点, 若为定值, 则点的坐标为( ) 三、简答题 (本题共 6 小题, 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (10 分) 直线经过两直线 和的交点. (1) 若直线与直线平行, 求直线的方程; (2) 若点到直线的距离为5 , 求直线的方程. 18. (12 分) 已知点, 圆 . (1) 若过点的圆的切线只有一条, 求实数的值及切线方程; (2) 若过点且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为, 求实数 的值. 19. (12 分) 如图, 已知三棱柱中, 侧棱与底面垂直, 且, 分别是的中点, 点在线段上, 且. (1) 求证: 面; (2) 求平面与平面所成二面角的余弦值. 20. (12 分) 如图, 椭圆 的离心率是, 点在短轴 上, 且. (1) 求椭圆的方程; (2) 设为坐标原点, 过点的动直线与椭圆交于两点, 求 面积的最大值. 21. (12 分) 如图, 在棱长为的正方体中, 分别是棱上的动点, 且. (1) 求证: ; (2) 当三棱锥的体积取得最大值时, 求与面所成角的正弦值. 22. (12 分) 已知点是曲线上任意一点, 点到点的距离与到直线轴的距离之差为1 . (1) 求曲线的方程; (2) 设直线为曲线的两条互相垂直切线, 切点为, 交点为点. (i) 求点的轨迹方程; (ii) 求证: 直线过定点, 并求出定点坐标. $