26.3实践与探索（难点练）-【上好课】2021-2022学年九年级数学下册同步备课系列（华东师大版）

26.3实践与探索 （难点练） 一、单选题 1．（2021·全国·九年级专题练习）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　） A．4米 B．5米 C．2米 D．7米 【答案】B 【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x=﹣10代入可求解． 【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=， 设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+， ∵BC=10， ∴点B（﹣5，0）， ∴0=a×（﹣5）2+， ∴a=-， ∴大孔所在抛物线解析式为y=-x2+，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m（x﹣b）2， ∵EF=14， ∴点E的横坐标为-7， ∴点E坐标为（-7，-）， ∴-=m（x﹣b）2， ∴x1=+b，x2=-+b， ∴MN=4， ∴|+b-（-+b）|=4 ∴m=-， ∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-（x﹣b）2， ∵大孔水面宽度为20米， ∴当x=-10时，y=-， ∴-=-（x﹣b）2， ∴x1=+b，x2=-+b， ∴单个小孔的水面宽度=|（+b）-（-+b）|=5（米）， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 2．（2020·江苏·南通市跃龙中学九年级月考）如图，在中，，，．线段的两个端点都在上，且，从点出发，沿方向运动，当到达点时，停止运动，在整个运动过程中，空白部分面积的大小变化的情况是（ ） A．一直减小 B．一直增大 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】C 【分析】设PD=x，AB边上的高为h，求出h，并运用相似三角形的性质求出AD，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可． 【详解】在中，，，， ， 设，则，边上的高为，， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴时，随x的增大而增大，时，随x的增大而减小， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，动点问题的函数图象，三角形面积，勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题． 3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，动点P沿折线运动到点B，同时动点Q沿折线运动到点C，点在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合运动状态分段讨论：当点P在AD上，点Q在BD上时，，，过点P作，通过解直角三角形求出PE，表示出面积的函数表达式；当点P在BD上，点Q在BC上时，，，过点P作，通过解直角三角形求出PE，表示出面积的函数表达式，利用二次函数的性质即可得出结论． 【详解】解：当点P在AD上，点Q在BD上时，，， 则， 过点P作， ∵， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴的面积，为开口向上的二次函数； 当时，点P与点D重合，点Q与点B重合，此时的面积； 当点P在BD上，点Q在BC上时，，， 过点P作， 则，即， ∴的面积，为开口向下的二次函数； 故选：D． 【点睛】本题考查动态问题的函数图象，根据运动状态写出函数解析式，利用二次函数的性质进行判断是解题的关键． 4．（2020·河南巩义·二模）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿方向运动，当点到达点时停止运动，过点作交于点，设点的运动路程为，图2表示的是与的函数关系的大致图象，则函数图象中的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图2知：AB=6，当点M在BC上时，画出图形根据，得出比例式，根据二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF有最大值，列出方程式即可解题． 【详解】解：由图2知：AB=6，则CN=BM=6-x，即y=6-x； 如图所示，当点M在BC上时，AB=6 则BM=x-6，NC=y， 在矩形中， ∵MN⊥AM， ∴∠AMN=90°， ∴∠CMN+∠AMB=90°， ∵∠MAB+∠AMB=90°， ∴∠CMN=∠MAB， ∵在△CMN和△BAM中，∠CMN=∠MAB，∠C=∠B=90°， ∴△CMN∽△BAM， ∴ 由二次函数图象对称性可得M在BC中点时，y=CN有最大值，此时BM=CM=x-6 ∴， ∴x=10或2（不合题意舍去） ∴BM=CM=4， ∴BC=8 ∴a=6+8=14 故选：C 【点睛】本题考查了