浙江省杭州市第二中学滨江校区2021-2022学年高三上学期期中考试数学试卷

2021学年第一学期杭州市第二中学滨江校区高三数学期中试题 一 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1: 设集合 , 则( ) A. B. C. D. 2: 已知 ( 为虚数单位) 为纯虚数, 则 ( ) A. B. 1 C. D. 3 3: 已知空间中的两个不同的平面, 直线平面, 则 " "是 " 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 4: 某几何体的三视图如图所示, 其正视图为边长为2的正方形, 则该几何体的体积为 ) A. B. C. 4 D. 5: 函数 的大致图象为( ) 6: 实数 满足 且的最小值为4 , 则实数的值为( ) A. 0 B. C. D. 3 7: 明朝早期, 郑和七下西洋过程中, 将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海,形成了一套先进的航海技术--- “过洋牵星术”. 简单地说, 就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面上的高度来判断方位. 其采用的主要工具是牵星板, 其由12块正方形木板组成, 最小的一块边长约2厘米 (称一指), 木板的长度从小到大依次成等差数列, 最大的边长约 24 厘米 (称十二指). 观测时, 将木板立起, 一手拿木板, 手臂伸直, 眼睛到木板的距离大约为 72 厘米, 使牵星板月海平面垂直, 让板的下缘与海平面上边缘对所观测的星辰依高低不同替换、调整木板, 当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板, 观测的星辰离海平面的高度就是几指, 然后就可以推算出船在海中的地理纬度. 如图所示, 若在一次观测中所用的牵星板为六指板, 则约为( ) A. B. C. D. 8: 已知实数 满足, 则的最小值为( ) A. B. C. D. 9: 已知圆台上底面半径为3 , 下底面半径为4 , 高为7 , 若点在下底面圆的圆周上, 且 , 点在上底面圆的圆周上, 则的最小值为( ) A. 246 B. 226 C. 208 D. 198 10: 已知数列满足, e 为自然对数的底数), 且对任意的 都存在, 使得成立, 则数列的首项须满足( ) B. C. D. 二 填空题: 本大题共7小题, 多空题每题6分, 单空题每题4分, 共36分 11：已知函数 , 其中 , 若在上单调递减, 则a=( ), 若, 则( ) 12：设 展开式中, 各项系数之和为4 , 则( ); 展开式中的常数项为( ) 13: 已知圆 与圆 相交于两点, 则实数 的取值范围( ); 若圆存在点P, 使得ABP为等腰直角三角形，则实数a的值为( ) 14: 口袋里有大小相同的2个红球和3个黄球, 现从中任取两个球, 记取出的红球数为, 则( ); D()=( ) 15: 在 中, , 则 ( ) 16: 已知平面向量 满足: , 且 , 若存在平面向量, 使得 , 且 , 则( ) 17: 已知双曲线 的左、右焦点分别是 , 直线 双曲线 的左、右 支分别交于 均在 轴上方 . 若直线 的斜率为 , 且四边形 的面积为 . 则双曲线 的离心率为( ) 三 解答题: 本大题共 5 小题, 共 74 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步聧。 18: 在 中, 角 的对边分别为 , 设面积的大小为, 且 (1) 求 的值; (2) 若的外接圆直径为1 , 求的取值范围. 19: 如图, 在四棱锥 中, 平面平面, 底面为菱形, , 为 中点. ( I ) 证明: ; (II) 若, 求直线 与平面所成角的正弦值. 20: 已知各项均为正数的无穷数列的前项和为, 且. (1) 证明数列是等差数列, 并求出的通项公式; (2) 若数列 满足. 设数列满足, 证明: 21: 如图, 已知抛物线, 斜率为1的直线与抛物线交于两个不同的点, 过分别作抛物线的切线, 交于点. (I) 求点的横坐标; (II) 已知为抛物线的焦点,