浙江省杭州市第二中学滨江校区2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷

2021学年第一学期杭州市第二中学滨江校区高一数学期中试题 第 I 卷（选择题） 一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的. 1. 已知 , 若 , 则 A. 1 B. 0 C. 1 或 0 D. 1 或 2. 命题 , 则的否定形式为( ) A. B. C. D. 3. 已知关于的不等式 的解集为, 则关于的不等式的解集为 A. B. C. D. 4. " 是" 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数 的图象是 ( ) 6. 函数满足: 恒成立. 若 , 则 A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 已知正数和满足, 则的最小值为( ) A. B. C. D. 8. 已知, 若, 恒有, 则实数的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 二、选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分, 有选错的得 0 分, 部分选对的得 2 分. 9. 幂函数 , 则 ( ) A. 的图象过点 B. 的图象过点 C. 为奇函数 D. 为偶函数 10.已知函数 在上单调递减, 则不可能等于 ( ) A. B. 1 C. D. 2 11. 已知全集, 且集合满足, 则 A. B. C. D. 12. 已知正数满足, 则 ( ) B. C. D. 第 II 卷（非选择题） 三、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 13. 已知, 则( ) 14. 已知 为奇函数, 则( ) 15. 已知 , 则 的最大值为( ) 16. 已知 , 若 , 使得, 则的最小值为( ) 四、解答题: 本题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 10 分) (1) 求值: ; (2) 若, 求 . 18. (本题满分 12 分)已知: . (1) 若, 求 的取值范围; (2) 若, 求 的取值范围. 19. (本题满分 12 分) 当下的电动汽车越来越普及, 充电的问题自然也是越来越受关注. 电动汽车充电一般有两种方式, 一种是通过随车携带的便携式充电器进行充电, 还有一种是通过固定的充电桩进行充电。公共充电桩作为新能源汽车在外实现能源补给的主要工具, 是与新能源汽车产业的兴起而伴生的.某商场计划在地下停车库安装公共充电桩, 以满足顾客的需求。据市场分析, 公共充电柱的历年总利润 (单位: 万元)与营运年数是正整数 成二次函数关系, 其中前三年总利润为20 万元, 且投入运营六年后总利润最大, 达到110万元. (1) 求出关于的函数关系式; (2) 求营运的年平均总利润的最大值(注: 年平均总利润 ). 20. (本题满分 12 分)已知函数 , (1) 若 , 求函数 的值域; (2) 若 , 使 成立, 求的取值范围. 21. (本题满分 12 分)函数. (1) 判断并用定义证明函数 在 上的单调性; (2) 若 , 求证: ; (3) 若 , 且 , 求证: . 22. (本题满分 12 分)函数. (1) 若 , 求 的单调区间; (2) 记 为 的最小值, 当 时, 求的值. (3) 记 , 当 时, 若 且 , 求的取值范围. $