2.3.3 直线与圆的位置关系-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

2．3.3　直线与圆的位置关系 1．理解直线与圆的三种位置关系，重点培养直观想象核心素养． 2．会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系，并能解决有关切线、弦长问题，重点提升数学运算核心素养． 　直线与圆的位置关系 1．“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察三幅太阳落山的图片，回答下列问题． (1)图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？ (2)结合初中平面几何中学过的直线与圆的位置关系，直线与圆有哪几种位置关系？ 提示：(1)①相离；②相切；③相交；(2)3种，分别是相交、相切与相离． 2．过圆上一点有几条切线？过圆外一点有几条切线？ 提示：过圆上一点有1条切线；过圆外一点有2条切线． 直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，设圆心(a，b)到直线的距离是d，则d＝，则有： 位置关系 几何特征 代数特征(方程联立消元得到一元二次方程的判别式Δ) 相离 d>r 无实数解(Δ<0) 相切 d＝r 有两个相等的实数解(Δ＝0) 相交 d<r 有两个不相等的实数解(Δ>0) 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(　　) (2)若直线与圆相交，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解．(　　) (3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆联立消元后的一元二次方程无解．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　 B.相切 C．相离 D.相交且过圆心 答案：B 3．当直线x＋y－a＝0与圆x2＋(y－1)2＝2相离时，a的取值范围是________． 答案：a<－1或a>3 4．直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A、B两点，则|AB|＝________． 解析：圆心到直线的距离为.＝2，则|AB|＝2，圆的半径为2 答案：2 直线与圆位置关系的判断(小组探究) 　(本节例1延伸)(一题多解)已知动直线l：y＝kx＋5和圆C：(x－1)2＋y2＝1，则当k为何值时，直线l与圆C相离？相切？相交？ 【尝试解答】　解法一　(代数法) 联立得方程组 得(k2＋1)x2＋(10k－2)x＋25＝0， 则Δ＝(10k－2)2－4(k2＋1)·25＝－40k－96， 所以当直线l与圆C相离时，－40k－96<0，即k>－； 当直线l与圆C相切时，－40k－96＝0，即k＝－； 当直线l与圆C相交时，－40k－96>0，即k<－. 解法二　(几何法) 圆C：(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1，0)，半径r＝1. 设圆心C到直线l的距离为d，则d＝ . 当d>r，即，此时直线l与圆C相离；>1时，k>－ 当d＝r，即，此时直线l与圆C相切；＝1时，k＝－ 当d<r，即，此时直线l与圆C相交．<1时，k<－ eq \a\vs4\al() 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 1．(1)直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　　　　 B.相离 C．相交或相切 D.相切 (2)设m>0，则直线l：(x＋y)＋1＋m＝0与圆O：x2＋y2＝m的位置关系为(　　) A．相切 B.相交 C．相切或相离 D.相交或相切 解析：(1)直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1，0)，而(－1，0)在圆上，故直线与圆相切或相交． (2)圆心到直线l的距离为d＝－1)2≥0，∴d≥r，故直线l和圆O相切或相离．(＋1)＝(m－2＝－，∵d－r＝，圆的半径为r＝ 答案：(1)C　(2)C 圆的切线问题(变通探究) 　(本节例2迁移)过点M(2，4)向圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切线，求切线的方程． 【审题指导】　先明确点M(2，4)与圆的关系，再利用d＝r列式来刻画相切这一条件．本题若使用点斜式设切线方程，一定要检验斜率不存在的情况． 【素养立意】　本题主要考查直线与圆相切问题，突出考查数学运算核心素养． 【尝试解答】　把点M(2，4)代入圆的方程，由于(2－1)2＋(4＋3)2＝50>1，故点M在圆外． 当切线斜率存在时，设切线方程是y－4＝k(x－2)， 即kx－y＋4－2k＝0， 由于直线与圆相切，故， ＝1，解得k＝ 所以切线方程为24x－7y－20＝0.