8.5.3 平面与平面平行-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教A版）

8．5.3　平面与平面平行 教室里左右两侧的墙面，黑板所在的墙面与后侧的墙面是什么关系？如果在黑板上任意画一条直线与后墙面是什么关系？ 1．了解两平面平行的意义和判定定理、性质定理． 2．会利用两平面平行的判定定理、性质定理研究面面平行，线面平行，线线平行的关系． 3．培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理的学科素养．　　 [自主预习] 1．平面与平面平行的判定定理 (1)文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行． (2)符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α. (3)图形语言： 2．平面与平面平行的性质定理 (1)文字语言：如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行． 符号语言：α∥β，a⊂α⇒a∥β． (2)①文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． ②符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b． ③图形语言： [独立思考] 1．如果一个平面内无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？ 提示：不一定．例如，如图所示，长方体ABCD­A1B1C1D1中，在棱AB上任取一点E，在平面ABCD中作EF∥AD交CD于F，用同样方法可以在平面ABCD中作出无数条与 AD平行的直线．很明显，EF⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1.又AD∥EF，则EF∥平面ADD1A1，同理在平面ABCD内所作的无数条直线均平行于平面ADD1A1，但平面ADD1A1与平面ABCD相交于直线AD.所以，一个平面内有无数条直线平行于另一个平面时，这两个平面不一定平行． 2．两个平面平行，那么，两个平面内的所有直线都相互平行吗？ 提示：不一定．它们也可能异面． 　平面与平面平行的判定 (教材P140例4改编)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F、E′、F′分别是棱AB、AD、D1C1、B1C1的中点，面DBF′E′与面D1B1EF是什么关系？ 结论：平行． INCLUDEPICTURE "典例1.tif" \* MERGEFORMAT 　如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1. 【思路点拔】　要证平面A1EB∥平面ADC1，只需证平面A1EB内有两条相交直线平行于平面ADC1即可． 【证明】　由棱柱的性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC，又D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E∥DB，C1E＝DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D， 又C1D⊂平面ADC1， EB⊄平面ADC1， 所以EB∥平面ADC1. 连接DE，同理，EB1∥BD， EB1＝BD， 所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED∥B1B，ED＝B1B. 因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)， 所以ED∥A1A，ED＝A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD， 又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1， 所以A1E∥平面ADC1， 由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB， 且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1. eq \a\vs4\al() 面面平行的判定定理有三个条件：(1)平面β内的两条直线a、b；(2)直线a、b相交；(3)直线a、b都平行于平面α.这三个条件都具备才能确定α∥β. 1．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是AB、CD、A1B1、C1D1的中点．求证：平面A1EFD1∥平面BCF1E1. 证明：∵E、E1分别是AB、A1B1的中点， ∴A1E1∥BE且A1E1＝BE. ∴四边形A1EBE1为平行四边形． ∴A1E∥BE1. ∵A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1. ∴A1E∥平面BCF1E1. 同理A1D1∥平面BCF1E1，A1E∩A1D1＝A1， ∴平面A1EFD1∥平面BCF1E1. 　两平面平行的性质的应用 正方体中，过上底面的中心和下底面两相邻边的中点所作的平面截正方体所得的截面是什么图形． 结论：等腰梯形． 探究1　利用面面平行证明线线平行 　如图，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均在平行四边形A′B′C′D′所确定一个平面α外，且AA′、BB′、CC′、DD′互相平行． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 【证明】　在▱A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′， ∵A′B′⊄平面C′D′DC，C′D′⊂平面C′D′DC， ∴A′B′∥平面C′D′DC. 同理A′A∥平面C′D′DC. 又A′A∩A′B′＝A′， ∴平面A′B′BA∥平面C′D′DC. ∵平面ABCD∩平面