第十一章 立体几何大题综合 讲义-2021-2022学年高中数学人教B版（2019）必修第四册

11.5立体几何大题综合（补充）（新课） 典例解析 考点一：体积问题 例1．（2017课标II，文）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面 , （1）证明：直线平面; （2）若△面积为，求四棱锥的体积. 变式1.（2014辽宁19）如图，和所在平面互相垂直，且，，分别为的中点. （1）求证： 平面； （2）求三棱锥的体积. 变式2.（2016年高考新课标Ⅱ卷文）如图，菱形的对角线与交于点，点、分别在，上，，交于点，将沿折到的位置. （1）证明：； （2）若,求五棱锥体积. 例2.（2013重庆19）如图，四棱锥中，⊥底面，，， ． （1）求证：⊥平面； （2）若侧棱上的点满足，求三棱锥的体积． 变式1.（2013安徽18）如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，。已知，。 （1）证明：面； （2）若为的中点，求三棱锥的体积。 变式2．（2017课标3，文）如图，四面体中，是正三角形，． （1）证明：； （2）已知是直角三角形，．若为棱上与不重合的点，且，求四面体与四面体的体积比． 考点二：距离问题 例3．（2015广东18）如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，，。 （1）证明： （2）证明： （3）求点到平面的距离。 变式1：如图，四棱锥中，，，和都是边长为2的等边三角形。 （1）证明：； （2）求点到平面的距离。 变式2．如图，在四棱锥中，，，，． （1） 求证：； （2） 求点到平面的距离． 考点三：夹角问题 例4．如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，，，点E，F分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正弦值； 变式1．如图，正三棱柱为棱的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 变式2．如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，且． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 巩固练习 1.（2017北京，文）如图，在三棱锥中，，，，，为线段的中点，为线段上一点． （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）当平面时，求三棱锥的体积． 2.（2015北京文18）如图所示，在三棱锥中，平面平面，三角形为等边三角形，，且，点，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求三棱锥的体积。 3.如图，三棱锥中，平面，。 （1）求三棱锥的体积； （