11.4空间中的垂直关系 讲义-2021-2022学年高中数学人教B版（2019）必修第四册

11.4空间中的垂直关系（新课） 知识梳理 直线与平面垂直的判定 直线与平面垂直的性质 1.如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 2.如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另外一条也垂直于这个平面。 平面与平面垂直的判定 平面与平面垂直的性质 典例解析 考点一：直线与平面垂直的判定 【例1】如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点. （1）求证：MN⊥CD； （2）若∠PDA=45°.求证：MN⊥平面PCD. 变式：如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF//AC，AB=,CE=EF=1，求证：CF⊥平面BDE。 考点二：直线与平面垂直的性质 【例2】如图所示，平面，点C在以AB为直径的⊙O上，，，点E为线段的中点，点M在上，且∥． 求证：平面PAC平面； 变式：如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//DC，ΔPAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=.设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD； 考点三：平面与平面垂直的判定 【例3】如图所示，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点. 证明：平面PBE⊥平面PAC； 变式：如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为O. O S A B C D E （1）求证：平面； （2）已知为侧棱上一个动点. 试问对于上任意一点，平面与平面是否垂直？若垂直，请加以证明；若不垂直，请说明理由. 考点四：平面与平面垂直的性质及应用 【例4】如图，在边长为的正三角形中，，，分别为，，上的点，且满足.将△沿折起到△的位置，使平面平面，连结，.（如图）求证：. 图1 图2 变式：如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，是侧棱上的动点.是否不论点在侧棱的任何位置，都有？证明你的结论． 考点五：垂直的应用 例5.设m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列命题： ①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α； ②若m∥α，m⊥β，则α⊥β； ③若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ； ④若